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Matemática EM: Geometria

Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 1

Lição 3: Simetria por translação
Matemática
Matemática EM: Geometria
Geometria das transformações
Simetria por translação
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Translação de formas

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Aprenda a desenhar a imagem de uma forma dada a partir de uma translação dada.

Introdução

Neste artigo, vamos praticar a arte de transladar formas. Matematicamente falando, vamos aprender a desenhar a imagem de uma determinada forma após uma translação dada.
Uma translação em ⟨a,b⟩ é uma transformação que move todos os pontos a unidades no eixo x e b unidades no eixo y. Uma transformação como esta é comumente representada como T(a,b).

Parte 1: como transladar pontos

Vamos estudar um exemplo de problema

Encontre a imagem A′ de A(4,−7) após a transformação T(−10,5).
Um plano cartesiano com ponto A em quatro, sete negativo. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um.

Solução

A translação T(−10,5) move todos os pontos −10 unidades no eixo x e +5 unidades no eixo y. Em outras palavras, ela move tudo 10 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima.
Agora podemos simplesmente ir 10 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima a partir de A(4,−7).
Um plano cartesiano com ponto A em quatro, sete negativo. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Uma seta tracejada aponta dez unidades para a esquerda e cinco unidades para cima até o ponto A linha em seis negativo, dois negativo.
Também podemos calcular A′ algebricamente:
A′=(4−10,−7+5)=(−6,−2)

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de B(6,2) depois da transformação T(−4,−8).

Problema 2

Qual é a imagem de (23,−15) depois da transformação T(12,32)?
(
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
)

Parte 2: como transladar segmentos de reta

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o segmento de reta CD― mostrado abaixo. Vamos traçar sua imagem após a translação T(9,−5).
Um plano cartesiano com um segmento de reta com extremidade C em sete negativo, oito até D, em quatro negativo, um. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um.

Solução

Quando transladamos um segmento de reta, estamos na verdade transladando todos os pontos que compõem esse segmento.
Felizmente, não precisamos transladar todos os pontos, que são infinitos! Em vez disso, podemos considerar os pontos finais do segmento.
Um plano cartesiano com um segmento de reta com extremidades C em sete negativo, oito até D em quatro negativo, um. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Uma seta aponta nove unidades para a direita a partir de C e cinco unidades para baixo até o ponto C linha. Uma seta aponta nove unidades para a direita a partir de D e cinco unidades para baixo até o ponto D linha.
Como todos os pontos se movem exatamente na mesma direção, a imagem de CD― será simplesmente o segmento de reta com pontos finais C′ e D′.
Um plano cartesiano com um segmento de reta com extremidades C em sete negativo, oito até D em quatro negativo, um. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Outro segmento de reta tem extremidades C linha em dois, três e D linha em cinco, quatro negativo. Uma seta aponta da extremidade C para a extremidade C linha e outra seta aponta da extremidade D para D linha.

Parte 3: como transladar polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o quadrilátero EFGH mostrado abaixo. Vamos desenhar sua imagem, E′F′G′H′, após a translação T(−6,−10).
Um plano cartesiano com um quadrilátero com os vértices E em um negativo, seis, F em três, oito, G em dois, dois e H em dois negativo, três. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um.

Solução

Quando transladamos um polígono, estamos na verdade transladando todos os segmentos de reta que compõem esse polígono!
Um plano cartesiano com um quadrilátero com vértices E em um negativo, seis, F em três, oito, G em dois, dois e H em dois negativo, três. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Um quadrilátero congruente com vértices E linha em sete negativo, quatro negativo, F linha em três negativo, dois negativo, G linha em quatro negativo, oito negativo e H linha em oito negativo, sete negativo. Uma seta aponta do vértice E até E linha. Uma seta aponta do vértice F até F linha. Outra seta aponta de G a G linha, e uma seta aponta do vértice H até H linha.
Basicamente, o que fizemos aqui foi encontrar as imagens de E, F, G, e H e conectar os vértices das imagens.

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de △IJK depois da translação T(−5,2).

Problema 2

Desenhe as imagens de LM― e NO― depois da translação T(10,0).

Desafio

A translação T(4,−7) mapeou △PQR. A imagem, △P′Q′R′, é mostrada abaixo.
Desenhe △PQR.

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