Introdução às transformações rígidas

RKA - O que eu quero introduzir para você, neste vídeo, é a ideia de "transformação". Você deve usar bastante esta palavra na sua linguagem do dia a dia, mas nós temos, agora, que trabalhar com o significado de transformação no contexto matemático. Transformar, em contexto matemático, é parecido com a ideia de transformar no contexto da linguagem do dia a dia, em que você tem algo e transforma em outra coisa. Em matemática, transformar quer dizer tomar algo matemático, efetuar algo matemático e obter um novo elemento matemático. Nós podemos, por exemplo, tomar um conjunto de coordenadas ou de pontos e, fazendo uma transformação, obter novos conjuntos de pontos, novos conjuntos de coordenadas. Por exemplo, aqui, você tem um quadrilátero e ele está desenhado em um eixo, no sistema de eixos cartesianos. Ele é um conjunto de pontos, não só os quatro pontos que representam seus vértices, mas todos os infinitos pontos que representam seus lados e também a região compreendida por eles. Para esses infinitos pontos, nós podemos aplicar transformações matemáticas. E a primeira transformação que eu quero mostrar para você é a translação. E a translação significa mover, movimentar os pontos: a mesma quantidade na mesma direção. Usando a plataforma da Khan Academy, eu posso transladar, posso fazer a translação com este quadrilátero. Basta clicar em um ponto e nós podemos movê-lo, gerando, portanto, uma translação. Nesta primeira situação, eu estou deslocando para a direita todos os pontos em duas unidades. Veja: não é só este ponto, não é só um vértice, são todos os infinitos pontos do polígono deslocando-se duas unidades à direita na direção do eixo das abcissas. Este ponto foi deslocado em duas unidades. Este outro ponto foi deslocado à direita, também, duas unidades. Todos os pontos foram deslocados na mesma direção, na mesma quantidade de unidades. E isto é uma translação. Nesta outra situação, eu desloquei todos os pontos uma unidade à direita e uma unidade para cima. Então, novamente, desloquei todos os pontos, a mesma quantidade de unidades na mesma direção. Isso é a translação. Mas você tem que saber que a translação não é a única transformação no âmbito matemático. Existem vários tipos de transformações. Por exemplo, eu posso fazer uma rotação. Eu tenho, aqui, um exemplo de um quadrilátero "BCDE" e eu vou rotacioná-lo em torno de um certo ponto, que é este que você vê em laranja. Por exemplo, eu poderia rotacioná-lo em torno do ponto "D" e eu posso rotacionar de várias formas. Deixe eu voltar aqui. Eu posso rotacionar, por exemplo, 90 graus. Assim, parece bem próximo de uma rotação de 90°. Cada ponto do desenho original, da figura original, foi em relação ao ponto onde eu marquei o centro da rotação, foi rotacionado em aproximadamente 90°. Então, este ponto agora é mapeado é transformado para este ponto aqui. Este outro ponto foi mapeado para este outro ponto aqui. Estamos rotacionando todos os infinitos pontos, mas olhando para os vértices, porque é um pouco mais fácil. O ponto "D", observe que permanece onde está, ele não saiu do seu lugar, porque ele é justamente o centro da rotação. Alguns nomes são importantes: o conjunto de pontos obtidos após a transformação, neste exemplo a rotação, é chamado de "imagem da transformação". Eu tinha, aqui, o quadrilátero "BCDE", apliquei uma rotação de 90° em torno do ponto "D" e obtive um novo polígono, um novo quadrilátero, que é a imagem do primeiro. Eu não preciso, necessariamente, rotacionar a figura em torno de um dos seus pontos, um dos seus vértices, por exemplo. Eu posso rotacionar em torno de um ponto externo ou de um ponto interno, qualquer outro ponto do plano em relação a ele. Eu posso, por exemplo, rotacionar em relação à origem. Posso fazer algo como isto. Vamos a uma outra transformação. E o nome dessa transformação é reflexão. Você conhece bem a palavra reflexão da sua linguagem do dia a dia. Você pode associá-la a ideia de um espelho, da reflexão em uma superfície de água, mas vamos, agora, analisá-la em um contexto matemático. Aqui, nós vamos fazer a reflexão em relação a uma reta chamada eixo de simetria. Vamos fazer a reflexão deste pentágono não regular que temos aqui, em relação a este eixo de simetria. Deixe-me ajustar, aqui, da maneira que eu quero. Poderia ser qualquer reta para o eixo de simetria, mas eu vou colocar esta desta forma. Mas o que significa refletir algo em relação ao eixo de simetria? Eu posso imaginar o eixo de simetria como um espelho e vamos fazer, então, uma reflexão. Veja o que temos aqui: observe esse ponto "T". Ele estava a uma certa distância da linha e a sua imagem está à mesma distância desta reta, que é o eixo de simetria. Para o ponto "Y", a mesma ideia. E para esse ponto, aqui, também a mesma ideia. Ele fica refletido para o outro lado do plano, definido pela reta. Estes tipos de transformação, que foram a reflexão, a translação e a rotação, são chamadas transformações rígidas, porque elas não deformam a figura nem alteram o seu tamanho. Em todas estas transformações, a figura obtida, a imagem obtida, tem as mesmas dimensões da imagem original, com exatamente o mesmo formato. Ou seja, são congruentes. Veja, nesse exemplo, que a distância entre os pontos "T" e "R", na figura original, é mantida entre os pontos que são suas imagens na nova figura. Esta é uma transformação rígida. A mesma coisa para os ângulos: você pode observar que os ângulos permanecem com as mesmas medidas. A mesma coisa nós podemos constatar na translação: nesta transformação, nós temos uma situação de transformação rígida, mantemos a mesma forma e as mesmas dimensões do quadrilátero original na sua imagem. O que seriam, então, exemplos de transformações que não são rígidas? Você pode imaginar, simplesmente, ao ampliar ou reduzir uma figura, ou mesmo um zoom que você pode dar em uma imagem. Nestes casos, os ângulos são preservados, mas não os comprimentos dos lados ou dos segmentos envolvidos. Outra transformação que não é rígida é a deformação. Você pode puxar um ponto da figura e manter os outros no mesmo lugar. Você está deformando, mudando o formato da figura. É uma transformação não rígida. Você que gosta, muitas vezes, de jogar um videogame ou de programar computadores, muito do que você vê na parte gráfica de tudo isso são transformações matemáticas para você ter efeitos na tela que encantam. Esses efeitos são feitos, algumas vezes, em duas dimensões ou em três dimensões, isso não importa. São transformações matemáticas. Este tipo de transformação é mais estudada a fundo na álgebra linear, um campo um pouco mais avançado da matemática. Alguns computadores, inclusive, têm processadores gráficos muito bons e o que são esse processadores gráficos? São pequenas peças de hardware muito boas para fazer transformações matemáticas. Este é um campo muito, muito interessante. Até o próximo vídeo!