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Matemática EM: Geometria

Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 4

Lição 8: Calculando o volume de alguns sólidos geométricos
Matemática
Matemática EM: Geometria
Geometria espacial (métrica)
Calculando o volume de alguns sólidos geométricos
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Revisão das fórmulas de volume

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Revise as fórmulas do volume de prismas, cilindros, pirâmides, cones, e esferas.
À primeira vista, pode parecer que há muitas fórmulas de volume, mas muitas delas compartilham uma estrutura comum.

Prismas e figuras semelhantes a prismas

start text, V, o, l, u, m, e, end text, start subscript, start text, p, r, i, s, m, a, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, a, space, b, a, s, e, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #ca337c, right parenthesis
Sempre medimos a altura de um prisma perpendicularmente ao plano de sua base. Isso é válido até mesmo quando um prisma está de lado ou inclinado (um prisma oblíquo).

Prismas retangulares

Com frequência aprendemos primeiro sobre volume usando prismas retangulares (especificamente os prismas retos retangulares), como quando construímos o prisma a partir de cubos.
Observe que qualquer face de um prisma retangular pode ser sua base, contanto que meçamos a altura do prisma perpendicularmente a essa face.
Um cubo com l de comprimento, w de largura e h de altura.
Volumeprisma retangular=(Aˊrearetaˆngulo)⋅(altura)=((base do retaˆngulo)(altura do retaˆngulo))⋅(altura do prisma)=lwh\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{prisma retangular}}&=(\blueE{\text{Área}_{\text{retângulo}}})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=\left(\blueE{(\text{base do retângulo})(\text{altura do retângulo})}\right)\cdot (\maroonD{\text{altura do prisma}})\\\\ &=\blueE{lw}\maroonD{h} \end{aligned}

Prismas triangulares

Um prisma triangular tem uma base formada por um triângulo.
Um prisma triangular com uma base triangular de base b, uma base triangular de altura h e l de comprimento.
Volumeprisma triangular=(Aˊreatriaˆngulo)⋅(altura)=(12(base do triaˆngulo)(altura do triaˆngulo))⋅(altura do prisma)=12bhℓ\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{prisma triangular}}&=(\blueE{\text{Área}_{\text{triângulo}}})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=\left(\blueE{\dfrac{1}{2}(\text{base do triângulo})(\text{altura do triângulo})}\right)\cdot (\maroonD{\text{altura do prisma}})\\\\ &=\blueE{\dfrac{1}{2}bh}\maroonD{\ell} \end{aligned}

Cilindros

Um cilindro circular é uma figura semelhante a um prisma que tem uma base formada por um círculo.
Um cilindro com raio r e altura h.
Volumecilindro circular=(Aˊreacıˊrculo)⋅(altura)=(π⋅(raio)2)⋅(altura)=πr2h\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{cilindro circular}}&=(\blueE{\text{Área}_{\text{círculo}}})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=(\blueE{\pi \cdot (\text{raio})^2})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Prismas oblíquos

Em prismas oblíquos, as bases ficam em planos paralelos.
Devido ao princípio de Cavalieri, continuamos a calcular o volume exatamente da mesma forma.
Qual expressão fornece o volume do prisma retangular oblíquo?
Um prisma retangular oblíquo cuja base retangular tem duas unidades de comprimento e um vírgula cinco unidades de largura. A altura inclinada do prisma é de cinco unidades. Sua altura vertical é de quatro unidades.
Escolha 1 resposta:

Pirâmides e figuras semelhantes a pirâmides

start text, V, o, l, u, m, e, end text, start subscript, start text, p, i, r, a, with, \^, on top, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start color #7854ab, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #7854ab, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, a, space, b, a, s, e, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #ca337c, right parenthesis
Também medimos a altura de uma pirâmide perpendicularmente ao plano de sua base. Devido ao princípio de Cavalieri, a mesma fórmula do volume funciona tanto para figuras semelhantes a pirâmides retas quanto para oblíquas.

Pirâmides de base retangular

Uma pirâmide de base retangular tem uma base formada por um retângulo.
Uma pirâmide retangular cuja base retangular tem l unidades de comprimento e w unidades de largura. Sua altura vertical é de h unidades.
Volumepiraˆmide de base retangular=13(Aˊrearetaˆngulo)⋅(altura)=13((base do retaˆngulo)(altura do retaˆngulo))⋅(altura da piraˆmide)=13lwh\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{pirâmide de base retangular}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Área}_{\text{retângulo}}})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\left(\blueE{(\text{base do retângulo})(\text{altura do retângulo})}\right)\cdot (\maroonD{\text{altura da pirâmide}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{lw}\maroonD{h} \end{aligned}

Cones

Um cone circular é uma figura semelhante a uma pirâmide que tem uma base formada por um círculo.
Um cone com raio r e altura vertical de h.
Volumecone circular=13(Aˊreacıˊrculo)⋅(altura)=13(π⋅(raio)2)⋅(altura)=13πr2h\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{cone circular}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Área}_{\text{círculo}}})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\pi \cdot (\text{raio})^2})\cdot (\maroonD{\text{altura}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Esferas

Uma esfera com raio r.
start text, V, o, l, u, m, e, end text, start subscript, start text, e, s, f, e, r, a, end text, end subscript, equals, start color #a75a05, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, end color #a75a05, pi, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, r, a, i, o, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, cubed

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