Fractal em forma de floco de neve de Koch

RKA - Este é um triângulo equilátero. Quero formar outra figura a partir desse triângulo e, farei isso pegando cada um dos lados e dividido em 3 partes iguais. Três partes iguais. Meu triângulo equilátero não está perfeito, mas dá para entender. E na parte do meio eu quero construir outro triângulo equilátero. Vou construir outro triângulo equilátero nesta parte do meio que vai ficar mais ou menos assim. Eu desenho outro triângulo equilátero aqui. E assim passei do triângulo equilátero a algo parecido com a estrela de Davi. E eu vou fazer de novo. Vou dividir cada um dos lados em 3 lados iguais, e na parte do meio eu vou construir um triângulo equilátero. Eu faço isso em todos os lados. Faço aqui. Aqui. Já deu para entender. Mas eu quero deixar claro, então vou desenhar todos. Eu tô quase acabando. E, ficaria assim. Eu posso fazer de novo. Posso dividir cada lado em 3, e desenhar outro triângulo. Muito bem. Aqui. Aqui e aqui. Aqui e aqui. Você já entendeu. Eu poderia continuar infinitamente, mas nesse vídeo eu quero refletir sobre o que está acontecendo. Se eu continuar desenhando para sempre, cada repetição a gente vai pegar um lado e dividir em 3. E a próxima repetição ou 3 segmentos iguais, pegamos o segmento do meio e criamos outro triângulo equilátero. Esse formato chama floco de neve de Koch, e foi descrito pelo matemático sueco, não sei bem se o nome é esse, Niels Fabian Helge von Koch. Ou von Koch. Enfim, foi um dos primeiros fractais a serem descritos. Isto é um fractal e é considerado um fractal porque é igual se olhado em qualquer escala. Nessa escala você vê um monte de triângulos, mas se você der um zoom verá o mesmo padrão. Se você desse um zoom de novo veria o mesmo padrão. Um fractal é uma estrutura que em qualquer escala tem a mesma aparência. O que é interessante, e por isso eu coloquei no nosso estudo de geometria, é que o fractal tem perímetro infinito, se eu continuar fazendo o floco de neve de Koch, se continuar infinitamente desenhando triângulo equilátero para mostrar que seu perímetro é infinito, vamos pegar um dos lados. Digamos que quando começamos era esse lado aqui e que seu comprimento é “S”. Comprimento “S”. A gente dividiu em 3 segmentos iguais que serão “S/3”. "S/3". Vou escrever embaixo. “S/3”, “S/3”, e “S/3”. No segmento do meio você, cria um triângulo equilátero. Então, cada um dos lados terá comprimento “S/3”. Agora o comprimento desta nova parte eu não posso mais chamar de reta porque, o comprimento dessa parte, deste lado, agora é “S/3” vezes 4. E antes era “S/3” vezes 3. Agora tem 1, 2, 3, 4 segmentos “S/3”. Depois de uma vez adicionando triângulos, nosso novo lado vai medir 4 vezes 4 vezes “S/3”. Ou é igual a “4S/3”. Se o nosso perímetro original, quando era só um triângulo, era “P₀”, após adicionar um conjunto de triângulos, nosso perímetro vai ser 4/3 vezes o original, porque cada um dos lados vai ser 4/3 maior. A gente tinha 3 lados e agora cada um dos lados será 4/3 maior, então um novo perímetro vai ser 4/3 vezes isso. Quando eu adicionar pela segunda vez, vai ser 4/3 vezes a primeira iteração. A cada adição de triângulos ele fica 4/3 maior que a versão anterior. Se fizer infinitamente, se multiplicar qualquer número por 4/3 infinitas vezes, terá um comprimento infinito. O valor de "P" infinito que é o perímetro, se fizer infinitas vezes é infinito. É legal pensar em algo que tem perímetro infinito, mas o mais legal é que ele tem uma área finita que significa que ela ocupa um espaço determinado. Eu posso desenhar um limite em volta dele que ele nunca vai extrapolar. Eu não vou fazer uma prova formal, mas vamos pensar no que acontece em um desses lados. Na primeira iteração surgiu este triângulo. Depois desenhamos estes dois triângulos. E, esses depois adicionamos triângulos aqui, aqui, aqui e por aí vai. Mas repare que podemos adicionar triângulos indefinidamente que nunca vamos passar deste ponto original. O mesmo vai acontecer deste lado, deste lado aqui, deste lado aqui, deste lado aqui e também deste lado aqui. Mesmo que a gente continue infinitamente o floco de neve de Koch nunca vai extrapolar a área deste hexágono, seu formato nunca será diferente disto. Eu desenhei um limite arbitrário. Eu posso fazer um círculo em volta do hexágono. Então, esta coisa que eu desenhei em azul e esse hexágono roxo tem uma área fixa e o floco de neve de Koch sempre será limitado, mesmo que a gente acrescente triângulos infinitamente. E tem várias coisas interessantes: um fractal não perde sua definição formal à medida que é ampliado, ele mantém sua estrutura idêntica à original. Um fractal tem perímetro infinito e área finita. Você pode achar que é um conceito muito abstrato e que coisas assim não existem no mundo real, mas uma hipótese legal que as pessoas discutem no mundo dos fractais é encontrar o perímetro da Inglaterra e isso vale para qualquer lugar. A Inglaterra tem mais ou menos esse formato. Primeiro podemos medir essa distância mais essa distância, mais esta, mais esta, mais esta, mais esta tem um perímetro finito e claramente tem uma área finita. Mas assim também parece que o perímetro é finito. Aí concluímos que tem que aproximar mais, em vez de medir uma parte grande medimos várias pequenas para contornar melhor a costa. Essa aproximação ficou bem melhor, mas se der um zoom em um trecho da costa vemos que o litoral é todo o acidentado, assim. E nessa outra interação, medimos só aqui e este não é o perímetro do litoral. É preciso medir com muito mais precisão, assim para encontrar o perímetro real da costa. Aí você fica satisfeito com essa aproximação, mas se der um zoom ainda maior verá que é muito mais acidentado. Em vez de medir com linhas retas, você percebe que precisa aproximar mais e pode continuar assim até chegar ao nível atômico. Enfim, o perímetro real de uma ilha, de um continente ou qualquer coisa é uma espécie de fractal. E é possível encarar como tendo um perímetro quase infinito. Não é infinito, é quase infinito. Enfim, espero que você tenha entendido o conceito e achado interessante. Afinal, é uma coisa interessante para se pensar. Até o próximo vídeo! Fui.