Resumo de pavimentação

Já estudamos em aulas anteriores uma maneira de se calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer a partir da divisão desse polígono em triângulos e, com isso chegamos na seguinte fórmula:

$S_i=(n-2)\times 180º$‍.

sendo $n$‍ o número de lados do polígono.

Se esse polígono for regular, todos os seus ângulos internos terão a mesma medida, e então é possível entender que o valor de cada ângulo interno de um polígono regular pode ser encontrado dividindo-se a soma de todos os ângulos internos pelo número de ângulos do polígono:

$a_i={\displaystyle \frac{(n-2)\times 180º}{n}}$‍.

Observando a relação que podemos estabelecer entre cada ângulo externo com o seu ângulo interno podemos dizer que eles serão sempre SUPLEMENTARES.

Agora observe os exemplos abaixo:

Se somarmos os ângulos externos de todos esses polígonos anteriores podemos perceber que a soma será sempre $360°$‍:

Mesmo em polígonos não regulares podemos perceber que essa relação é válida:

A pavimentação refere-se à cobertura do plano ou superfície por figuras geométricas sem sobreposição ou espaços vagos.

Para compor mosaicos, precisamos ter figuras que se encaixem completamente ao redor de um único ponto.

Na pavimentação regular, um único polígono regular é utilizado para cobrir toda a superfície, sem sobreposição ou lacunas. Para isso, a soma dos ângulos internos ao redor do ponto deve ser $360°$‍.

Observe os desenhos abaixo que ilustram essa regra:

Como cada ângulo interno de um hexágono regular é igual a $120°$‍, e $360°=120°\times 3$‍, é possível fazer mosaicos apenas com hexágonos.

Encontramos esse tipo de mosaico nos favos que as abelhas fazem. Eles na verdade são circulares, mas ao serem preenchidos com mel, o peso faz esses círculos de tornarem hexágonos.

Observe que podemos fazer mosaicos com triângulos equiláteros também:

Como cada ângulo interno de um triângulo equilátero é igual a $60°$‍, e $360°=60°\times 6$‍, é possível fazer mosaicos apenas com triângulos equiláteros.

Para quadrados essa regra fica bem nítida:

Como cada ângulo interno de um quadrado é igual a $90°$‍ e $360°=90°\times 4$‍, é possível fazer mosaicos apenas com quadrados.

Encontramos esse tipo de mosaico nas construções de um modo geral.

Ao tentarmos encaixar perfeitamente outros polígonos, como os pentágonos, por exemplo, notamos que fica um espaço vago ou, se colocarmos mais um pentágono, uma parte ficará sobreposta à outra figura. Isso acontece porque os ângulos internos de um pentágono regular são iguais a $108°$‍ e $360°$‍ não é um múltiplo de $108°$‍.

As figuras planas regulares que tem encaixe perfeito são os triângulos equiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares pois seus ângulos somam $360°$‍ ao redor de um ponto.

Existem ainda outros tipos de pavimentação que podem ser citadas:

$\bullet$‍ Pavimentação Semiregular: Envolve a utilização de mais de um tipo de polígono regular para cobrir a superfície, mantendo um padrão consistente. Os polígonos se alternam de maneira específica.

$\bullet$‍Pavimentação Irregular: Não segue um padrão predefinido e pode envolver a utilização de polígonos regulares e irregulares. Essa forma de pavimentação pode ser mais complexa e variada.

Muitas pavimentações exibem padrões simétricos, o que significa que podem ser divididas em partes iguais.

O estudo da pavimentação é relevante não apenas na geometria, mas também em diversas áreas, como design, arquitetura, arte e ciência da computação, onde padrões regulares são frequentemente utilizados.