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Curso: Matemática EM: Geometria > Unidade 3

Lição 1: Casos de semelhança entre triângulos
Matemática
Matemática EM: Geometria
Semelhança
Casos de semelhança entre triângulos
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Critério de semelhança de triângulos ângulo-ângulo

Google Sala de Aula
Use dilatações e transformações rígidas para mostrar por que um par de triângulos com pelo menos dois pares de ângulos correspondentes congruentes devem ser semelhantes.

O que significa dizer que dois triângulos são semelhantes?

Definição 1
O que semelhança significa na geometria?
Escolha 1 resposta:

Como provar que triângulos são semelhantes

Usando as propriedades de translações, rotações e reflexões, podemos mostrar que dois triângulos são congruentes quando só conhecemos algumas das medidas deles. De quanta informação precisamos para saber que dois triângulos são semelhantes?

Dois pares de ângulos e dois pares de lados?

Triângulo A B C e triângulo D E F. O lado A B mede cinco. O lado B C mede nove. O lado D E mede dois vírgula cinco. O lado E F mede quatro vírgula cinco. O ângulo A e o ângulo D são congruentes. O ângulo B e o ângulo E são congruentes. O triângulo A linha B linha C linha tem um lado A linha B linha que mede dois vírgula cinco. O ângulo B linha e o ângulo E são congruentes. O lado B linha C linha mede quatro vírgula cinco.
Como poderíamos justificar que △A′B′C′ é congruente a △DEF?
Escolha 2 respostas:

Que tipo de transformações transformam △A′B′C′ em △DEF?
△A′B′C′ é congruente a △DEF, então podemos transformar △A′B′C′ em △DEF usando somente
.

Triângulo A B C e triângulo D E F. O lado A B mede cinco. O lado B C mede nove. O lado D E mede dois vírgula cinco. O lado E F mede quatro vírgula cinco. O triângulo A linha B linha C linha tem um lado A linha B linha que mede dois vírgula cinco. O lado B linha C linha mede quatro vírgula cinco. O ponto P está no canto superior direito.
Complete a sequência de transformações para justificar que △ABC é semelhante a △DEF.
△DEF é a imagem de △ABC depois de:
  1. Dilatar com um fator de escala de
    a partir do ponto P.
  2. Fazer uma translação ao longo do segmento de reta direcionado
    .
  3. Rotacionar ao redor do ponto
    em m∠C″EF.
  4. Refletir sobre a reta
    .

Qual é o mínimo necessário?

Com base nas nossas transformações acima, podemos ter certeza de que dois triângulos são semelhantes se eles tiverem 2 pares de ângulos correspondentes congruentes e 2 pares de lados correspondentes com razões iguais. Poderíamos mostrar que os triângulos são semelhantes com menos informações? Quantas informações a menos?

Dois pares de ângulos e um par de lados?

Triângulo G H I e triângulo J K L. O ângulo G e o ângulo J são congruentes. O ângulo H e o ângulo K são congruentes. O lado G H mede doze. O lado K J mede dezoito. O triângulo G linha H linha I linha tem um lado G linha H linha que mede dezoito. O ângulo G linha é congruente ao ângulo J. O ângulo H linha é congruente ao ângulo K.
Complete a justificativa de que △GHI é semelhante a △JKL.
  1. △G′H′I′ é a imagem de △GHI após uma dilatação por um fator de escala de
    .
  2. Podemos usar transformações rígidas para transformar △G′H′I′ em △JKL porque △G′H′I′≅△JKL pela congruência
    .
  3. Podemos transformar △GHI em △JKL com uma sequência de transformações rígidas e dilatações, portanto △GHI∼△JKL.

Apenas dois pares de ângulos?

Dois triângulos M N O e P Q R. O ângulo M e o ângulo P são congruentes. O ângulo N e o ângulo Q são congruentes.
Complete a justificativa de que △MNO é semelhante a △PQR.
AfirmaçãoMotivo
1∠M≅∠P e ∠N≅∠QDado
2Dilatação de △MNO por um fator de escala de
.
3∠M′≅∠M e ∠N′≅∠NA dilatação preserva as medidas dos ângulos.
4∠M′≅∠P e ∠N′≅∠QPropriedade transitiva de congruência
5M′N′=
Definimos a dilatação dessa forma.
6△M′N′O′≅△PQRCongruência ângulo-lado-ângulo
7Há uma sequência de transformações rígidas que transformam △M′N′O′ em △PQR.Definição de
8△MNO∼△PQRHá uma sequência de transformações rígidas e dilatações que transformam △MNO em △PQR.

Sim! Podemos mostrar que dois triângulos são semelhantes mesmo que saibamos apenas que eles têm dois pares de ângulos correspondentes congruentes.

Aprofundamento

Veja algumas perguntas que podem aprofundar o seu raciocínio. Compartilhe suas respostas nos comentários.
  • Como você poderia provar o critério se semelhança ângulo-ângulo (AA) usando o critério de congruência ângulo-ângulo-lado (AAL) em vez do critério de congruência ângulo-lado-ângulo (ALA)?
  • Qual seria a diferença entre o critério de semelhança lado-lado-lado e o critério de congruência lado-lado-lado?
  • Há um critério de semelhança para quadriláteros que usa apenas ângulos?

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