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Conteúdo principal

Critério de semelhança de triângulos ângulo-ângulo

Use dilatações e transformações rígidas para mostrar por que um par de triângulos com pelo menos dois pares de ângulos correspondentes congruentes devem ser semelhantes.

O que significa dizer que dois triângulos são semelhantes?

Definição 1
  • Atual
O que semelhança significa na geometria?
Escolha 1 resposta:

Como provar que triângulos são semelhantes

Usando as propriedades de translações, rotações e reflexões, podemos mostrar que dois triângulos são congruentes quando só conhecemos algumas das medidas deles. De quanta informação precisamos para saber que dois triângulos são semelhantes?

Dois pares de ângulos e dois pares de lados?

Triângulo A B C e triângulo D E F. O lado A B mede cinco. O lado B C mede nove. O lado D E mede dois vírgula cinco. O lado E F mede quatro vírgula cinco. O ângulo A e o ângulo D são congruentes. O ângulo B e o ângulo E são congruentes. O triângulo A linha B linha C linha tem um lado A linha B linha que mede dois vírgula cinco. O ângulo B linha e o ângulo E são congruentes. O lado B linha C linha mede quatro vírgula cinco.
Como poderíamos justificar que triangle, A, prime, B, prime, C, prime é congruente a triangle, D, E, F?
Escolha 2 respostas:

Que tipo de transformações transformam triangle, A, prime, B, prime, C, prime em triangle, D, E, F?
triangle, A, prime, B, prime, C, prime é congruente a triangle, D, E, F, então podemos transformar triangle, A, prime, B, prime, C, prime em triangle, D, E, F usando somente
.

Triângulo A B C e triângulo D E F. O lado A B mede cinco. O lado B C mede nove. O lado D E mede dois vírgula cinco. O lado E F mede quatro vírgula cinco. O triângulo A linha B linha C linha tem um lado A linha B linha que mede dois vírgula cinco. O lado B linha C linha mede quatro vírgula cinco. O ponto P está no canto superior direito.
Complete a sequência de transformações para justificar que triangle, A, B, C é semelhante a triangle, D, E, F.
triangle, D, E, F é a imagem de triangle, A, B, C depois de:
  1. Dilatar com um fator de escala de
    a partir do ponto P.
  2. Fazer uma translação ao longo do segmento de reta direcionado
    .
  3. Rotacionar ao redor do ponto
    em m, angle, C, start superscript, prime, prime, end superscript, E, F.
  4. Refletir sobre a reta
    .

Qual é o mínimo necessário?

Com base nas nossas transformações acima, podemos ter certeza de que dois triângulos são semelhantes se eles tiverem 2 pares de ângulos correspondentes congruentes e 2 pares de lados correspondentes com razões iguais. Poderíamos mostrar que os triângulos são semelhantes com menos informações? Quantas informações a menos?

Dois pares de ângulos e um par de lados?

Triângulo G H I e triângulo J K L. O ângulo G e o ângulo J são congruentes. O ângulo H e o ângulo K são congruentes. O lado G H mede doze. O lado K J mede dezoito. O triângulo G linha H linha I linha tem um lado G linha H linha que mede dezoito. O ângulo G linha é congruente ao ângulo J. O ângulo H linha é congruente ao ângulo K.
  • Atual
Complete a justificativa de que triangle, G, H, I é semelhante a triangle, J, K, L.
  1. triangle, G, prime, H, prime, I, prime é a imagem de triangle, G, H, I após uma dilatação por um fator de escala de
    .
  2. Podemos usar transformações rígidas para transformar triangle, G, prime, H, prime, I, prime em triangle, J, K, L porque triangle, G, prime, H, prime, I, prime, \cong, triangle, J, K, L pela congruência
    .
  3. Podemos transformar triangle, G, H, I em triangle, J, K, L com uma sequência de transformações rígidas e dilatações, portanto triangle, G, H, I, \sim, triangle, J, K, L.

Apenas dois pares de ângulos?

Dois triângulos M N O e P Q R. O ângulo M e o ângulo P são congruentes. O ângulo N e o ângulo Q são congruentes.
  • Atual
Complete a justificativa de que triangle, M, N, O é semelhante a triangle, P, Q, R.
AfirmaçãoMotivo
1angle, M, \cong, angle, P e angle, N, \cong, angle, QDado
2Dilatação de triangle, M, N, O por um fator de escala de
.
3angle, M, prime, \cong, angle, M e angle, N, prime, \cong, angle, NA dilatação preserva as medidas dos ângulos.
4angle, M, prime, \cong, angle, P e angle, N, prime, \cong, angle, QPropriedade transitiva de congruência
5M, prime, N, prime, equals
Definimos a dilatação dessa forma.
6triangle, M, prime, N, prime, O, prime, \cong, triangle, P, Q, RCongruência ângulo-lado-ângulo
7Há uma sequência de transformações rígidas que transformam triangle, M, prime, N, prime, O, prime em triangle, P, Q, R.Definição de
8triangle, M, N, O, \sim, triangle, P, Q, RHá uma sequência de transformações rígidas e dilatações que transformam triangle, M, N, O em triangle, P, Q, R.

Sim! Podemos mostrar que dois triângulos são semelhantes mesmo que saibamos apenas que eles têm dois pares de ângulos correspondentes congruentes.

Aprofundamento

Veja algumas perguntas que podem aprofundar o seu raciocínio. Compartilhe suas respostas nos comentários.
  • Como você poderia provar o critério se semelhança ângulo-ângulo (AA) usando o critério de congruência ângulo-ângulo-lado (AAL) em vez do critério de congruência ângulo-lado-ângulo (ALA)?
  • Qual seria a diferença entre o critério de semelhança lado-lado-lado e o critério de congruência lado-lado-lado?
  • Há um critério de semelhança para quadriláteros que usa apenas ângulos?

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