Ao buscar no dicionário a palavra "semelhança", um dos significados possíveis é a presença de elementos conformes, e esta também é a definição que usamos na Matemática. A semelhança de triângulos, enquanto conceito geométrico, ocorre quando duas figuras apresentam ângulos congruentes e lados proporcionais.

A semelhança de triângulos nasce de transformações chamadas homotetias. Reduções e ampliações podem ser aplicadas a figuras, gerando casos de semelhança. Como nos triângulos semelhantes os lados correspondentes são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante chamado de razão de proporcionalidade, ao qual atribuiremos aqui à letra $\text{k}$start text, k, end text, que é dada por $\text{k}=\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}$start text, k, end text, equals, start fraction, a, prime, divided by, a, end fraction, equals, start fraction, b, prime, divided by, b, end fraction, equals, start fraction, c, prime, divided by, c, end fraction, sendo $\text{a}$start text, a, end text, $\text{b}$start text, b, end text e $\text{c}$start text, c, end text os lados do triângulo $\text{ABC}$start text, A, B, C, end text, e $\text{a'}$start text, a, apostrophe, end text, $\text{b'}$start text, b, apostrophe, end text e $\text{c'}$start text, c, apostrophe, end text os lados respectivos do triângulo $\text{A'B'C'}$start text, A, apostrophe, B, apostrophe, C, apostrophe, end text.

Neste artigo vamos tratar especificamente das semelhanças triangulares. Uma forma de identificar a semelhança de triângulos é medir seus ângulos, para notar que são iguais. Porém, há outras maneiras de identificar a semelhança de triângulos, tomando como referência duas características a serem observadas: seus lados e seus ângulos. É nessas medidas que nossos três critérios vão se pautar.

Temos que a soma de todos os ângulos internos de qualquer triângulo é igual a $180º$180, º. Isto é, se $\text{x}$start text, x, end text, $\text{y}$start text, y, end text, $\text{z}$start text, z, end text são ângulos de um triângulo, temos que $\text{x}+\text{y}+\text{z}=180º$start text, x, end text, plus, start text, y, end text, plus, start text, z, end text, equals, 180, º. Note que basta ver que dois ângulos são iguais nos dois diferentes triângulos para se ter certeza de que o terceiro também é, pois $\text{x}=180º-\text{y}-\text{z}$start text, x, end text, equals, 180, º, minus, start text, y, end text, minus, start text, z, end text.

Para identificar pelo critério $\text{AA}$start text, A, A, end text que os triângulos são congruentes, basta comparar os valores de $2$2 ângulos e verificar se são iguais. No exemplo acima, temos que $\angle\text{ACB}=\angle\text{A'C'B'}$angle, start text, A, C, B, end text, equals, angle, start text, A, apostrophe, C, apostrophe, B, apostrophe, end text e $\angle\text{CBA}=\angle\text{C'B'A'}$angle, start text, C, B, A, end text, equals, angle, start text, C, apostrophe, B, apostrophe, A, apostrophe, end text são iguais. Portanto, os triângulos $\text{ABC}$start text, A, B, C, end text e $\text{A'BC'}$start text, A, apostrophe, B, C, apostrophe, end text são semelhantes. Note que a razão de semelhança é $\text{k}=\frac{1,5}{0.5}=3$start text, k, end text, equals, start fraction, 1, comma, 5, divided by, 0, point, 5, end fraction, equals, 3.

Quando $3$3 lados do triângulo são proporcionais.

Para identificar pelo critério $\text{LLL}$start text, L, L, L, end text que os triângulos são semelhantes, basta comparar os valores de $3$3 lados dos triângulos e verificar se são proporcionais. No exemplo acima, temos que $\text{k}=\frac{0,5}{1}=\frac{0,5}{1}=\frac{1,08}{0,54}=0,5$start text, k, end text, equals, start fraction, 0, comma, 5, divided by, 1, end fraction, equals, start fraction, 0, comma, 5, divided by, 1, end fraction, equals, start fraction, 1, comma, 08, divided by, 0, comma, 54, end fraction, equals, 0, comma, 5. Portanto, os triângulos $\text{ABC}$start text, A, B, C, end text e $\text{D'B'C'}$start text, D, apostrophe, B, apostrophe, C, apostrophe, end text são semelhantes.

Quando $2$2 lados do triângulo são proporcionais e o ângulo entre eles é igual.

Para identificar pelo critério $\text{LAL}$start text, L, A, L, end text que os triângulos são semelhantes, basta comparar os valores do ângulo que está entre eles e verificar se são iguais e se os $2$2 lados são proporcionais. No exemplo acima, temos que $\angle\text{BCA}=\angle\text{B'C'A'}$angle, start text, B, C, A, end text, equals, angle, start text, B, apostrophe, C, apostrophe, A, apostrophe, end text e $\text{k}=\frac{12}{8}=\frac{10.51}{7.01}=1,5$start text, k, end text, equals, start fraction, 12, divided by, 8, end fraction, equals, start fraction, 10, point, 51, divided by, 7, point, 01, end fraction, equals, 1, comma, 5. Portanto, os triângulos $\text{ABC}$start text, A, B, C, end text e $\text{A'B'C'}$start text, A, apostrophe, B, apostrophe, C, apostrophe, end text são semelhantes.

Um triângulo tem apenas $3$3 lados e $3$3 ângulos. Se conhecemos medidas não proporcionais de lados ou ângulos diferentes, podemos logo concluir que os dois triângulos não podem ser semelhantes. Às vezes, conhecemos as medidas porque elas estão nas imagens dadas. Outras vezes, usamos ferramentas, como o teorema de Pitágoras ou a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, para descobrir as medidas que faltam e, então, poder concluir algo.

Observe que podemos dividir qualquer polígono em triângulos. Então, mostrar que triângulos são semelhantes é uma ferramenta poderosa para trabalhar com figuras mais complexas.