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Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 8
Lição 5: Determinando as características de uma função trigonométrica a partir de seu gráfico/expressão algébrica- Amplitude e período de funções senoidais a partir da equação
- Transformação de gráficos senoidais: ampliação vertical e reflexão horizontal
- Transformação de gráficos senoidais: ampliações verticais e horizontais
- Amplitude de funções senoidais a partir da equação
- Linha média de funções senoidais a partir da equação
- Período de funções senoidais a partir da equação
- Amplitude e período de uma função trigonométrica
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Amplitude e período de uma função trigonométrica
O foco deste artigo é definir o que é o período e a amplitude de uma função trigonométrica a partir da análise de seu gráfico. Para isto sugere-se que o estudante observe, compare e elabore hipóteses a partir da análise de gráficos de diferentes funções trigonométricas que estejam associadas à mesma função trigonométrica elementar.
Neste artigo, vamos ver as semelhanças e as diferenças entre gráficos trigonométricos associados a uma mesma função elementar e, com essas observações, definir o que é período e amplitude de uma função trigonométrica.
Vamos começar com a função
e fazer variações:
A função seno tem um gráfico de ondas contínuas, como as ondas do rádio. É uma curva matemática que descreve uma oscilação repetitiva suave. É utilizada em muitos setores da Física e da Engenharia. Recebe o nome senoide ou senoidal.
Os valores de seno variam entre e , e podemos chamá-los de valores mínimos e valores máximos no gráfico.
Agora, vamos observar a variação no gráfico da função .
Podemos pensar que a função seno se assemelha a uma mola e, no primeiro desenho, a mola estaria mais esticada. Outra diferença é que o gráfico parece estar mais alto.
Observe os valores máximos e mínimos. Como a função seno varia de a e esta segunda função representa o dobro da primeira, e , os valores máximos e mínimos estão multiplicados por .
Vejamos agora o gráfico da função .
Percebam que a "mola" está bem mais esticada que as duas funções anteriores e que seus valores máximos e mínimos também diminuíram. A função ficou mais curta.
Essa "altura" da função é conhecida como amplitude da função trigonométrica. Quanto maior o coeficiente a da função, maior sua amplitude: .
Essa amplitude determina a imagem da função trigonométrica.
Vejamos agora a diferença entre os gráficos das funções , e .
Nos exemplos anteriores, tínhamos o que dobrava a imagem da função, esticava ou encolhia a função no eixo . Agora, temos um coeficiente junto ao , e isso significa que a função ficará esticada ou encolhida no eixo das abscissas.
Veja a diferença para o gráfico de .
Esse coeficiente junto ao nos dará o período da função .
Quanto maior o coeficiente b, menor o período.
Vale ressaltar também que a imagem se manteve nessas três funções: .
Vejamos agora como calcular o período de uma função apenas com a lei de formação, sem necessariamente observar os gráficos.
Para achar o período da função trigonométrica , vamos sempre fazer .
Exemplos:
a)
Período:
b)
Período:
c)
Período:
Calculemos agora a amplitude das funções trigonométricas usando apenas sua lei de formação.
Para achar a amplitude de uma função trigonométrica , usaremos a expressão pois é a distância de até .
Exemplos:
a)
Imagem Amplitude:
b)
Imagem Amplitude:
c)
Imagem Amplitude:
Este artigo trouxe explicações para a função seno.
A função cosseno se comporta de forma análoga, pois varia sua imagem de , assim como a função seno, e tem ciclo trigonométrico semelhante: raio unitário e período .
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