Amplitude e período de uma função trigonométrica

Neste artigo, vamos ver as semelhanças e as diferenças entre gráficos trigonométricos associados a uma mesma função elementar e, com essas observações, definir o que é período e amplitude de uma função trigonométrica.

Vamos começar com a função $f(x)=sen(x)$‍ e fazer $2$‍ variações:

$g(x)=2sen(x)$‍, que representa o dobro da função

$h(x)=({\displaystyle \frac{1}{2}})sen(x)$‍, que representa a metade da função

A função seno tem um gráfico de ondas contínuas, como as ondas do rádio. É uma curva matemática que descreve uma oscilação repetitiva suave. É utilizada em muitos setores da Física e da Engenharia. Recebe o nome senoide ou senoidal.

Os valores de seno variam entre $-1$‍ e $1$‍, e podemos chamá-los de valores mínimos e valores máximos no gráfico.

Agora, vamos observar a variação no gráfico da função $g(x)=2sen(x)$‍.

Podemos pensar que a função seno se assemelha a uma mola e, no primeiro desenho, a mola estaria mais esticada. Outra diferença é que o gráfico parece estar mais alto.

Observe os valores máximos e mínimos. Como a função seno varia de $-1$‍ a $1$‍ e esta segunda função representa o dobro da primeira, $sen(x)$‍ e $2sen(x)$‍, os valores máximos e mínimos estão multiplicados por $2$‍.

Vejamos agora o gráfico da função $h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}sen(x)$‍.

Percebam que a "mola" está bem mais esticada que as duas funções anteriores e que seus valores máximos e mínimos também diminuíram. A função ficou mais curta.

Essa "altura" da função é conhecida como amplitude da função trigonométrica. Quanto maior o coeficiente a da função, maior sua amplitude: $f(x)=a\cdot sen(x)$‍.

Essa amplitude determina a imagem da função trigonométrica.

Vejamos agora a diferença entre os gráficos das funções $f(x)=sen(x)$‍, $g(x)=sen(2x)$‍ e $h(x)=sen({\displaystyle \frac{1}{2}}x)$‍.

Nos exemplos anteriores, tínhamos o $2$‍ que dobrava a imagem da função, esticava ou encolhia a função no eixo $y$‍. Agora, temos um coeficiente $2$‍ junto ao $x$‍, e isso significa que a função ficará esticada ou encolhida no eixo das abscissas.

Veja a diferença para o gráfico de $f(x)=sen({\displaystyle \frac{1}{2}}x)$‍.

Esse coeficiente $b$‍ junto ao $x$‍ nos dará o período da função $f(x)=sen(bx)$‍.

Quanto maior o coeficiente b, menor o período.

Vale ressaltar também que a imagem se manteve nessas três funções: $[-1,1]$‍.

Vejamos agora como calcular o período de uma função apenas com a lei de formação, sem necessariamente observar os gráficos. Para achar o período da função trigonométrica $f(x)=a\cdot sen(bx)$‍, vamos sempre fazer $|{\displaystyle \frac{2\pi }{b}}|$‍.

Exemplos:

a) $f(x)=sen(x)\to f(x)=sen(1x)$‍

Período: ${\displaystyle \frac{2\pi }{1}}=2\pi$‍

b) $f(x)=sen(4x)$‍

Período: ${\displaystyle \frac{2\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍

c) $f(x)=sen({\displaystyle \frac{x}{3}})=sen({\displaystyle \frac{1}{3}}x)$‍

Período: ${\displaystyle \frac{2\pi }{1/3}}=2\pi \cdot 3=6\pi$‍

Calculemos agora a amplitude das funções trigonométricas usando apenas sua lei de formação.

Para achar a amplitude de uma função trigonométrica $f(x)=a\cdot sen(bx)$‍, usaremos a expressão $|2a|,$‍ pois é a distância de $-a$‍ até $+a$‍.

Exemplos:

a) $f(x)=sen(x)=1\cdot sen(x)$‍

Imagem $=[-1,+1]$‍ $\to$‍ Amplitude: $2$‍

b) $f(x)={\displaystyle \frac{sen(x)}{2}}$‍

Imagem $=[-{\displaystyle \frac{1}{2}},+{\displaystyle \frac{1}{2}}]$‍ $\to$‍ Amplitude: $1$‍

c) $f(x)=3sen(2x)$‍

Imagem $=[-3,+3]$‍ $\to$‍ Amplitude: $6$‍

Este artigo trouxe explicações para a função seno. A função cosseno se comporta de forma análoga, pois varia sua imagem de $[-1,1]$‍, assim como a função seno, e tem ciclo trigonométrico semelhante: raio unitário e período $2\pi$‍.