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Amplitude e período de uma função trigonométrica

O foco deste artigo é definir o que é o período e a amplitude de uma função trigonométrica a partir da análise de seu gráfico. Para isto sugere-se que o estudante observe, compare e elabore hipóteses a partir da análise de gráficos de diferentes funções trigonométricas que estejam associadas à mesma função trigonométrica elementar.
Neste artigo, vamos ver as semelhanças e as diferenças entre gráficos trigonométricos associados a uma mesma função elementar e, com essas observações, definir o que é período e amplitude de uma função trigonométrica.
Vamos começar com a função f(x)=sen(x) e fazer 2 variações:
g(x)=2sen(x), que representa o dobro da função
h(x)=(12)sen(x), que representa a metade da função
A função seno tem um gráfico de ondas contínuas, como as ondas do rádio. É uma curva matemática que descreve uma oscilação repetitiva suave. É utilizada em muitos setores da Física e da Engenharia. Recebe o nome senoide ou senoidal.
Os valores de seno variam entre 1 e 1, e podemos chamá-los de valores mínimos e valores máximos no gráfico.
Agora, vamos observar a variação no gráfico da função g(x)=2sen(x).
Podemos pensar que a função seno se assemelha a uma mola e, no primeiro desenho, a mola estaria mais esticada. Outra diferença é que o gráfico parece estar mais alto.
Observe os valores máximos e mínimos. Como a função seno varia de 1 a 1 e esta segunda função representa o dobro da primeira, sen(x) e 2sen(x), os valores máximos e mínimos estão multiplicados por 2.
Vejamos agora o gráfico da função h(x)=12sen(x).
Percebam que a "mola" está bem mais esticada que as duas funções anteriores e que seus valores máximos e mínimos também diminuíram. A função ficou mais curta.
Essa "altura" da função é conhecida como amplitude da função trigonométrica. Quanto maior o coeficiente a da função, maior sua amplitude: f(x)=asen(x).
Essa amplitude determina a imagem da função trigonométrica.
Vejamos agora a diferença entre os gráficos das funções f(x)=sen(x), g(x)=sen(2x) e h(x)=sen(12x).
Nos exemplos anteriores, tínhamos o 2 que dobrava a imagem da função, esticava ou encolhia a função no eixo y. Agora, temos um coeficiente 2 junto ao x, e isso significa que a função ficará esticada ou encolhida no eixo das abscissas.
Veja a diferença para o gráfico de f(x)=sen(12x).
Esse coeficiente b junto ao x nos dará o período da função f(x)=sen(bx).
Quanto maior o coeficiente b, menor o período.
Vale ressaltar também que a imagem se manteve nessas três funções: [1,1].
Vejamos agora como calcular o período de uma função apenas com a lei de formação, sem necessariamente observar os gráficos. Para achar o período da função trigonométrica f(x)=asen(bx), vamos sempre fazer |2πb|.
Exemplos:
a) f(x)=sen(x)f(x)=sen(1x)
Período: 2π1=2π
b) f(x)=sen(4x)
Período: 2π4=π2
c) f(x)=sen(x3)=sen(13x)
Período: 2π1/3=2π3=6π
Calculemos agora a amplitude das funções trigonométricas usando apenas sua lei de formação.
Para achar a amplitude de uma função trigonométrica f(x)=asen(bx), usaremos a expressão |2a|, pois é a distância de a até +a.
Exemplos:
a) f(x)=sen(x)=1sen(x)
Imagem =[1,+1] Amplitude: 2
b) f(x)=sen(x)2
Imagem =[12,+12] Amplitude: 1
c) f(x)=3sen(2x)
Imagem =[3,+3] Amplitude: 6
Este artigo trouxe explicações para a função seno. A função cosseno se comporta de forma análoga, pois varia sua imagem de [1,1], assim como a função seno, e tem ciclo trigonométrico semelhante: raio unitário e período 2π.

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  • Avatar male robot hal style do usuário Isaac
    Na atividade sobre amplitude ela é cobrada |a|, pois é a distancia da linha central da função até o pico . Agora a amplitude é ensinado como sendo |2a|, a distancia y entre o pico mínimo e máximo. Não entendi.
    (1 voto)
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