Transformação de gráficos senoidais: ampliação vertical e reflexão horizontal

RKA - Neste exercício nos é pedido para construir o gráfico da função "y = 2 sen (-x)" no intervalo de -2π até 2π, incluindo -2π e o 2π também. Então, essa aqui é a nossa função; e, primeiro, eu vou desenhar o gráfico da função "y = sen (x)". E, aí, depois, comparar como esse 2 e esse "-x" aqui vão modificar esse gráfico do “sen (x)”. Primeiramente, eu vou construir aqui o nosso eixo do "x" (está aqui o eixo do "x") e o eixo do "y" (está aqui, então, o eixo do "y"). Nós estamos preocupados aqui com o intervalo do -2π até o 2π. Portanto, vamos dizer que aqui está o -2π; então, aqui, no meio do caminho, vai estar o -π; aqui, nesse ponto, vai ser o zero; aqui vai estar o π positivo; e, para cá, vai estar o 2π positivo. Aqui, eu vou ter o 1 e aqui o 2; e, aqui para baixo, o -1 no "y" e o -2. Agora, deixe-me só copiar isso daqui para não ter que ficar desenhando toda hora a mesma coisa, né? E, aí, depois, eu posso ajustar esse gráfico. Beleza! Vamos, agora, começar a dar valores aqui para o "x" para obter o “sen (x)”. Quando o "x" for zero, o “sen (x)” vai ser igual a zero também; portanto, o pontinho vai ficar aqui. Só para ter como referência, eu posso desenhar aqui o círculo unitário (está aqui o eixo do "y", está aqui o eixo do x"; esse aqui, então, vai ser o nosso círculo unitário, assim) e, aqui, como você pode perceber, quando o ângulo for zero (vai ser esse ponto aqui), a coordenada do "y", que é o seno, vai ser zero também. Logo, "sen 0" vai ser igual a zero. Depois disso, se eu quiser saber o “sen (π/2)” (que vai ser esse ponto aqui)... o "sen (π/2)" é igual a 1. π/2 está onde? Está bem aqui (π/2). O seno dele vai ser igual a 1; vai estar aqui o ponto... (deixe-me fazer aqui de branco para ficar mais fácil). Depois, eu quero saber quanto é o “sen (π)”; vai ser bem aqui assim. E o “sen (π)” (coordenada do "y") vai ser zero; portanto, o ponto vai estar aqui. Depois, eu quero saber o "sen (3π/2)", que vai estar bem aqui; e o seno vai ser -1. É ou não é? Vai ser a coordenada do "y". Então, o ponto vai estar por aqui. E, finalmente, o “sen (2π)” é zero. Novamente, então, o ponto vai ficar bem aqui. E esse gráfico entre zero e 2π vai ficar mais ou menos assim... vou tentar fazer o meu melhor aqui para fazer essa curva... vai ficar mais ou menos assim, né? Agora, eu posso fazer também o "sen (x)" para os ângulos negativos; por exemplo, o “sen (-π/2)”, que vai ser bem aqui, vai ser -1. Então, o ponto vai estar aqui, né? O “sen (-π)” vai ser aqui. Novamente, vai ser igual a zero; então, o ponto vai estar aqui. Depois, o "sen (-3π/2)", que vai ser isso daqui, esse ângulo. Então, o seno vai estar aqui; vai ser igual a 1. O ponto vai estar por aqui assim. E, finalmente, o "sen (-2π)" vai ser igual a zero. O ponto vai estar aqui. Daí, eu posso estender essa curva que vai ficar mais ou menos assim, né? Até aqui. Prontinho! Beleza! E esse gráfico aqui é consistente com tudo aquilo que nós sabemos sobre o “sen (x)”, né? Por exemplo, o período da função seno. O período da função seno vai ser 2π. Como aqui nós temos "1x", então, o período vai ser 2π sobre o módulo de 1; e, é claro, isso vai ser igual a 2π. Como você pode observa aqui no gráfico, para fazer uma repetição do padrão do gráfico, eu saio aqui, por exemplo, do zero e chego até o 2π e isso completa um padrão. Sim ou não? E esse padrão vai se repetir a cada 2π radianos que eu percorrer aqui no círculo unitário e desenhar isso no gráfico. E a amplitude qual vai ser? Ora, como a gente pode ver, essa função aqui está variando do 1 até o -1 e, então, a amplitude vai ser a metade disso, né? Do 1 até o -1 tem 2 unidades; então, metade de 2 é 1. Ou, então, a gente pode perceber aqui que tem 1 unidade para cima desse eixo do meio (que vai cortar o gráfico ao meio), e 1 para baixo aqui também. Então, foi bem simples calcular a amplitude. Agora, vamos mudar um pouquinho e vamos fazer o gráfico da função "y = 2 sen (x)". Como vai ficar esse gráfico aqui? Vamos lá! Aqui, né? E agora? O que será que vai acontecer quando eu multiplicar o “sen (x)” por 2? Como esse gráfico aqui de cima vai se modificar? Pois bem, isso é a mesma coisa que multiplicar essa função “sen (x)” por 2 e todos os valores que eu obtive aqui em cima basta multiplicar tudo por 2 também. Daí, agora, vai ser o seguinte: 2 vezes zero, vai ser zero; vai estar aqui também. 2 vezes 1 (que é o “sen (π/2)”) vai dar, agora, 2; vai dar aqui em cima. 2 vezes zero de novo vai dar zero; vai estar aqui. 2 vezes -1 vai dar -2; vai dar aqui embaixo. E 2 vezes zero vai dar zero; o pontinho vai estar aqui. Então, o gráfico vai ser dessa forma aqui, beleza? Vai ficar assim a nossa curva do seno. Esta parte aqui, claro, entre zero e o 2π. Nós podemos fazer também para a parte negativa. Olhe aqui! 2 vezes -1 (vai ser o correspondente aqui) vai dar igual a -2; o pontinho vai estar aqui embaixo. 2 vezes zero vai ser zero; o ponto vai estar aqui. 2 vezes 1 vai dar 2; vai estar aqui em cima o ponto. E 2 vezes zero, zero. E o gráfico aqui na parte negativa entre o zero e o -2π vai ter esse aspecto aqui, certo? Vai ter esse aspecto aqui. Pois bem, o que aconteceu? Ora, a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da função foi multiplicado por 2. É ou não é? Então, essa diferença aqui, do 2 até -2, é de 4. Logo, a amplitude, que vai ser metade disso, vai ser igual a 2. Logo, eu posso escrever aqui que a amplitude vai ser igual ao módulo de 2, que vai ser igual a 2; o que faz todo o sentido, a amplitude aqui em cima era de 1, como eu multipliquei tudo isso por 2, então a amplitude agora dobrou de tamanho e vale 2. Agora, vamos fazer o seguinte, vamos pegar o “sen (x)" e fazer o gráfico de “sen (-x)”. Vou pegar aqui, novamente, o que eu usei antes, o plano cartesiano e, para cá, o meu objetivo vai ser fazer o gráfico de "y = sen (-x)". Nesse caso, eu não tenho 2 vezes o "sen (-x)", tá? É só inverter o valor do "x" aqui; onde antes eu tinha "x", agora eu tenho "-x". Pois bem, vamos ver como isso se comporta. Quando o "x" for zero, o "sen 0" vai ser igual a zero; vai estar aqui o ponto. E o “sen (π/2)”? Ora, isso vai ser a mesma coisa que calcular o “sen (π/2)” só que multiplicar o resultado por -1. É ou não é? Então, eu vou estar calculando, na verdade, o "sen (-π/2)". E, como a gente viu, aqui "sen (-π/2)" vai ser -1; portanto, o ponto vai estar aqui, né? E quando o "x" for π? O “sen (-π)”, como a gente viu aqui, dá zero; então, o ponto vai ficar aqui. E quando "x" for 3π/2? Ora, isso vai ser o “sen (-3π/2)”. E, como a gente viu, dá 1. Logo, o ponto vai ficar aqui. E, quando "x" for 2π, isso vai ser o “sen (-2π)”, que dá zero; então, o pontinho vai ficar aqui. Agora, observe o que está acontecendo aqui. Quando eu fizer o gráfico do "sen (-x)", aquele gráfico se inverte todo; fica o inverso do que eu tinha antes. Então, o que deu aqui, na verdade, entre zero e 2π, foi, exatamente, igual ao que deu aqui só que na parte negativa, entre o zero e o -2π. É a mesma coisa que pegar isso daqui (essa parte do gráfico) e fazer o quê? E trazê-la para cá, para a parte positiva. Foi exatamente o que fizemos aqui. E a mesma lógica vai servir para a parte negativa aqui. Por exemplo, o “sen (-π/2)”, quando eu multiplicar por -1 vai ficar o “sen (π/2)”, que deu igual a quanto? A 1. Então, vai estar aqui em cima o ponto. Então, vai ser esse mesmo gráfico aqui, só que eu vou trazer para a parte negativa nesse caso aqui. Então, será o mesmo gráfico só que refletido. Não é isso? Vai ser refletido em relação ao eixo do "y". Então, o gráfico vai ficar mais ou menos assim, né? Certo? Portanto, o que esse "menos" fez aqui para o valor do seno? Ora, ele refletiu o gráfico do "sen (x)". Então, o gráfico de "sen (-x)" vai ser reflexo do gráfico de "sen (x)". E, finalmente, vamos pensar no combo. O que seria esse combo? Seria, no caso, multiplicar a função seno por 2 e também colocar o "-x" ali dentro. Portanto, aqui, nós vamos fazer o gráfico de "y = 2 sen (-x)", que é o que está pedindo lá no enunciado: construa o gráfico da função "y = 2 sen (-x)". Vamos fazer isso agora aqui; vamos ver como isso vai ficar. Então, com base em tudo o que nós fizemos, como esse gráfico aqui vai se comportar? Ou seja, saindo do gráfico de "sen (x)" ("y = sen (x)"), como o gráfico de “y = 2 sen (-x)” vai ser? Ora, tem duas maneiras de fazer isso. A primeira delas, por exemplo, seria você pensar assim: ora, eu posso pegar esse gráfico aqui, do "y = sen (x)", e invertê-lo, já que é 2 vezes o "sen (-x)"; então, pegar essa parte aqui e, no caso, fazer o reflexo dessa parte, trazer essa parte para cá nesse gráfico aqui. E, então, ficaria um gráfico desse jeito aqui, certo? Iria para cá; depois, para cá; depois, subiria aqui novamente até voltar para o "y = 0" aqui. Ficaria assim, sabendo que o 2 aqui vai ser o nosso limite para essa função; assim como -2 aqui, o limite inferior. E é claro que o que nós fizemos aqui está entre zero e 2π. Então, a parte negativa aqui vai ser o reflexo dessa parte positiva desse gráfico. Então, vai ficar assim: até o 2; aí, volta até o zero... negativo... aí, chega aqui no -2, volta novamente até chegar aqui no zero. E o gráfico ficaria dessa forma aqui. E, portanto, essa parte aqui vai ser um reflexo dessa parte aqui; é isso aqui que nós fizemos. Ou a outra forma (porque eu falei que havia duas formas) é você se basear primeiro neste gráfico aqui do "sen (-x)" e aumentar a amplitude, multiplicar tudo por 2, já que eu estou multiplicando essa função por 2 aqui, né? Como eu estou multiplicando por 2, basta dobrar a amplitude. E uma outra pergunta que eu deixo para você aqui agora é em relação ao período da função "y = 2 sen (-x)": como isso se relaciona com o período da função "y = sen (x)"? Ora, tem duas maneiras também de fazer isso. Eu poderia usar aquela forma tradicional, que diz que o período é igual a 2π dividido pelo módulo do coeficiente do "x" (que aqui, no caso, é -1; então dividido pelo módulo de -1), e, então, o período aqui vai ser 2π dividido por 1, que é a mesma coisa que 2π, né? Daqui, a gente chega à conclusão de que o período dessa função aqui, "y = 2 seno (-x)”, vai ser o mesmo período da função "y = seno (x)", que vai ser igual a 2π. É ou não é? Reparando no gráfico, dá para ver que realmente o período é de 2π. A gente completa um ciclo a cada 2π. Sim ou não? Analisa aqui comigo: 1 ciclo a cada 2π, 1 ciclo a cada 2π; aqui também 1 ciclo a cada 2π, 1 ciclo a cada 2π. Daqui, a gente percebe o seguinte: que o fato de eu multiplicar a função por 2 e ter o "-x" aqui como argumento não muda o período, mas ele muda o formato do gráfico. Olha só! Pois, nesse caso aqui, por exemplo, com o argumento negativo do "-x", quando eu aumentar o valor do "x" aqui para o ângulo, na verdade, eu vou calcular o valor do ângulo negativo. É ou não é? Então, por isso, o gráfico vai se inverter. Ou outra maneira de você ver isso é perceber, exatamente, os reflexos em relação ao eixo do "y", ou seja, essa função aqui é o reflexo dessa; essa função aqui é o reflexo dessa. Além disso... além disso, essa função aqui, "y = 2 sen (x)", vai ter o dobro da amplitude da de cima; e essa daqui, "y = 2 sen (-x)", vai ter o dobro da amplitude dessa função aqui de cima também. Então, é isso. Até o próximo vídeo!