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Identidades de seno e cosseno: periodicidade

Encontramos identidades trigonométricas para seno e cosseno, considerando as rotações de ângulos no círculo trigonométrico. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos, então, desenhar o nosso ângulo Θ (teta) aqui. O nosso ângulo Θ, que, como a gente sempre vem definindo, vai ser formado pela parte positiva do eixo "x" e por este raio final que eu desenhei que está interceptando nosso círculo unitário. Então, aqui, a gente vai ter o nosso ângulo Θ e, basicamente, isso vai definir o nosso cosseno de Θ e o seno de Θ. Então, o cosseno de Θ é esta projeção aqui (é de onde o raio intercepta o círculo unitário, a gente vai projetar até o eixo "x"). Outra maneira de pensar nisso é que o cosseno de Θ é o comprimento desta linha aqui... (esta linha que estou desenhando nesta cor pink; vou arrumar direitinho)... então, este comprimento aqui é, basicamente, cosseno de Θ. E o seno de Θ é, basicamente, a coordenada "y" ou, se a gente pensar, é esta linha aqui (esta linha que eu estou desenhando aqui). O quanto você está acima do eixo "x", isso é a coordenada "y", é o que a gente vai chamar de seno de Θ. Isso realmente faz sentido, né? Ele nos mostra o porquê da definição no círculo unitário; é uma extensão do "soh cah toa". Vamos escrever aqui; vocês lembram? "soh cah toa". Então, o "soh", né? O "soh" diz que o seno de um ângulo é igual ao seu lado oposto sobre a hipotenusa. No nosso exemplo, então, o seno de Θ... vamos escrever aqui que o seno de Θ vai ser igual ao lado oposto... quem é o lado oposto dele? O lado oposto é o seno de Θ (é o próprio seno de Θ, este comprimento aqui)... o seno de Θ sobre hipotenusa. Só que, no nosso exemplo, a hipotenusa é o raio do círculo unitário; então, vale 1. E, na verdade, isso vai ser igual a seno de Θ (o que, realmente, é verdade, né?). A outra maneira de a gente pensar sobre isso é dizer que o seno de Θ é igual ao lado oposto ao ângulo sobre a hipotenusa. Só que, no nosso exemplo, em se tratando do círculo unitário, a gente sabe que o lado oposto já é aqui e a nossa hipotenusa vale 1, né? Então, na verdade, isso é igual ao lado oposto, o que torna a nossa lógica correta, né? Porque, realmente, o seno de um ângulo Θ é igual ao comprimento do seu lado oposto. Está aqui: o comprimento do seu lado oposto. E o cosseno de Θ? O cosseno de Θ, a gente viu também, pela definição, que é o lado adjacente sobre a hipotenusa (então, é o lado adjacente sobre a hipotenusa). Uma vez que a hipotenusa é o raio do círculo unitário (ele vale 1), o cosseno de Θ vai ser só o lado adjacente. A gente viu que isso é verdade. Então, o cosseno de Θ é o comprimento do lado adjacente ao ângulo Θ. E isso é só uma pequena revisão (né, gente?), mostrando que a definição do círculo unitário é uma extensão da definição do "soh cah toa". Agora, vamos fazer algo interessante então. Vamos pensar no ângulo "Θ + (π/2)". O ângulo Θ... (este aqui é o ângulo Θ, né?)... o ângulo "Θ + (π/2)" seria, essencialmente, eu adicionar π/2 a este ângulo Θ; então, o que faria com que eu ficasse, basicamente, aqui, com uma reta perpendicular a esta reta amarela que a gente desenhou (que é o ângulo Θ), nossa reta inicial. [É] π/2 quando eu falo em radianos, o que equivale a 90 graus; então, na verdade, eu estou adicionando 90 graus a este ângulo Θ aqui. Então, este ângulo aqui meu seria o meu ângulo "Θ + (π/2)". O que eu quero explorar, agora, neste vídeo, que eu acho importante é: será que a gente consegue relacionar o seno de "Θ + (π/2)" de alguma maneira com o seno de Θ ou com o cosseno de Θ? Bom, vamos pensar primeiro o seguinte: o seno de "Θ + (π/2)" vai ser esta projeção aqui na coordenada "y" (no eixo "y" que a gente já viu). Ou outra maneira de a gente pensar isso é que o seno de "Θ + (π/2)" vai ser este comprimento aqui que eu estou desenhando nesta cor pink. Este comprimento aqui vai ser o seno de "Θ + (π/2)". Agora, como a gente pode relacionar isso com o que nós temos aqui? Olha só! Se a gente olhar bem para este triângulo aqui, a gente vai perceber que é como se a gente tivesse girado-o mais 90 graus no sentido anti-horário, que, na verdade, foi o que a gente fez porque a gente pegou este raio final aqui em amarelo e adicionamos a ele 90 graus ou π/2 radiano. Se você quiser ser um pouco mais rigoroso em relação a este assunto, você vai perceber que este ângulo em branco aqui, o "Θ + (π/2)", na realidade, até o primeiro quadrante, ele vale π/2 (a gente até o primeiro quadrante tem π/2); então, esta parte aqui, este ângulo, vai valer Θ (vale Θ). Como a gente pode relacionar este lado aqui na cor pink com este ângulo Θ usando a definição do "soh, cah, toa"? Em relação a este ângulo Θ aqui de amarelo, este lado na cor pink é o lado adjacente ao ângulo, então, que relação a gente pode tirar deste lado adjacente ao ângulo com esta hipotenusa aqui (que a gente sabe que, em se tratando do círculo unitário, o comprimento dela é 1)? Bom, o cosseno é o lado adjacente sobre a hipotenusa; então, o que podemos dizer deste ângulo aqui é que o cosseno deste ângulo Θ aqui vai ser o lado adjacente (que a gente sabe que neste ângulo é seno de "Θ + (π/2)") sobre a hipotenusa (a hipotenusa que vale 1). E esta divisão sobre 1 não muda o resultado, né? Então, não altera o resultado, a gente não precisa colocar aqui. O que é muito legal, né, gente? Porque a gente conseguiu obter uma relação muito bonita entre o seno e o cosseno. O cosseno de Θ é igual ao seno de "Θ + (π/2)", ou a gente também pode dizer que o seno de "Θ + (π/2)" é igual ao cosseno de Θ. Agora, eu proponho que você, depois de ver este vídeo, tente usar este mesmo raciocínio com outros resultados. Como é que você pode relacionar, então, o seno de Θ com o cosseno de "Θ + (π/2)", ou o contrário? Eu proponho que você explore e tente fazer esta relação sozinho. Até a próxima, pessoal!