Identidades de seno e cosseno: simetria

RKA - Olá, pessoal! Hoje, a gente vai explorar o círculo unitário com um pouco mais de profundidade. Então, vamos começar fazendo um ângulo Θ (teta) aqui. Lembrando que a unidade de medida do ângulo que a gente vai usar neste vídeo é radianos; então, vamos fazer o ângulo Θ aqui deste lado direito. E vamos projetar este ângulo para os eixos "x" e "y". Vamos nos certificar, primeiro, de que a gente já definiu o ângulo; vamos definir aqui os eixo "x" e "y". E, agora, vamos projetar este ângulo para os dois eixos. Vamos, agora, projetar aqui este ponto no eixo "x" (para isso basta ir aqui para baixo), e, depois, a gente vai continuar até chegar neste ponto aqui. E, aí, a gente vai obter este raio que eu vou desenhar aqui bem de azul. E quanto a este ângulo aqui formado pela parte positiva do eixo "x" e o raio em azul que a gente acabou de desenhar? Bom, vamos lembrar que, pelas nossas convenções, o sentido anti-horário é que vai dar o valor de um ângulo positivo (este sentido anti-horário aqui). Só que, ao invés de nós estarmos com este ângulo acima do eixo "x", nós estamos com ele abaixo do eixo "x". Olha lá! A gente pode ver que ele está no sentido horário. Então, como é a mesma abertura, ao invés de denominá-lo de Θ, pelas nossas convenções, nós o chamaremos de -Θ. Agora, vamos voltar ao raio verde inicial e projetá-lo, desta vez, até o eixo "y". Bem aqui! A gente vem até aqui, [e] vamos continuar até chegar deste outro lado aqui. Agora, a gente pode traçar este raio em amarelo, e o que eu quero saber é: qual é a medida agora deste ângulo aqui em radianos? Bem, se tivéssemos ido até o final, partindo da parte positiva do eixo "x" até a parte negativa do eixo "x", isso seria π radianos que é, exatamente, a metade do caminho ao redor do círculo; mas já sabemos, então, que este ângulo aqui é Θ. Então, este ângulo aqui também será Θ. Então, o ângulo que queremos descobrir vai ser esta volta aqui menos Θ. Esta volta aqui a gente sabe que é “π - Θ”. Observe que “π - Θ + Θ”, estes dois ângulos aqui são suplementares, eles somam π radianos ou 180 graus. Agora, vamos projetar este ângulo sobre a parte negativa do eixo "x". Virá até aqui; se continuarmos, vai bater aqui, e teremos algo parecido com este ângulo que eu estou desenhando aqui para vocês. Olha lá. Vamos ter algo parecido com este ângulo aqui. O que eu quero saber agora é: qual será, então, o ângulo de toda esta volta aqui (toda esta volta até chegar aqui)? Qual será este ângulo? Bom, é só a gente pensar. Até aqui, a gente tem π (não é?), mais este ângulo aqui, que também é Θ, então, este ângulo todo aqui, olha lá: “π + Θ”. Vamos escrever isso aqui. Este ângulo aqui é “π + Θ”. Agora, nós, visualmente aqui, percebemos que temos simetria de valores diferentes e, sobre elas, vamos pensar sobre os senos e os cossenos de diferentes ângulos e como é a relação deles uns com os outros. Nós já vimos que este ponto aqui, ele contém a coordenada "x", que é o cosseno de Θ, e a coordenada "y", que é o seno de Θ. Outra maneira de a gente verificar isso é olhar aqui para o eixo "x". Este ponto aqui é o cosseno de Θ, e este ponto aqui é o seno de Θ. Agora, vamos pensar neste ponto aqui que está definido no nosso círculo unitário das nossas funções trigonométricas, uma vez que este ângulo aqui é -Θ. Se este ângulo é -Θ, a gente vai dizer que este ponto aqui é cosseno de -Θ e seno de -Θ. Usando o mesmo conceito para este ângulo aqui em amarelo, a gente vai ter que este ponto aqui vai ter a coordenada "x" como sendo este ângulo que é "π - Θ". Se este ângulo é “π - Θ”, a coordenada "x" dele vai ser cosseno de "π - Θ" e seno de “π - Θ”. E o último que a gente vai observar, este ângulo aqui desta volta inteira aqui, quando ele dá esta volta inteira, a gente sabe que este ângulo todo é “π + Θ” ou “Θ + π”; então, este ponto aqui a gente sabe que vai ser cosseno de “π + Θ” ou “Θ + π” e a coordenada "y" vai ser o seno de “π + Θ” ou “Θ + π” (a coordenada "y" e a coordenadora "x" deste ângulo). Bem, e o que todas estas relações têm a ver umas com as outras? Olha só! A gente pode perceber que estes dois pontos aqui da direita possuem as suas coordenadas "x" no mesmo valor (no mesmo lugar aqui no eixo "x"), então, a gente percebe que o cosseno de Θ é igual ao cosseno de -Θ. Então, vamos escrever isso: cosseno de Θ é igual ao cosseno de -Θ. O que é muito interessante, né, gente? E, em relação aos senos, o que a gente pode dizer? Bom, em relação a estes dois pontos, a gente percebe que o seno de Θ está a esta distância aqui acima do eixo "x". E, deste ponto aqui, o seno de -Θ está a esta mesma distância aqui só que abaixo do eixo "x", ou seja, eles têm o mesmo módulo, mas estão opostos. Então, a gente pode escrever isso: o seno de -Θ é igual a menos seno de Θ. Podemos fazer a mesma coisa para este ponto aqui. A gente consegue observar que o seno deste aqui é, exatamente, igual a este. Olha só: ambos estão à mesma distância do eixo "x". Então, a gente vai dizer que este ângulo aqui é, exatamente, igual a este. Vamos escrever isso então: o seno de Θ é igual ao seno de “π - Θ”. A gente consegue perceber que dá o mesmo valor. Agora, vamos pensar na relação dos cossenos. A gente vai usar o mesmo argumento: que ambos estão equidistante da origem, porém em lados opostos. Então, a gente pode dizer que o cosseno de Θ... (vamos escrever isso)... cosseno de Θ é igual a menos cosseno de “π - Θ”, porque eles estão opostos um ao outro. E, finalmente, nesta última relação aqui, a gente pode perceber que tanto o cosseno de “π + Θ” está na parte negativa do eixo "x" como o seno de “π + Θ” está na parte negativa do eixo "y" quando a gente projeta as coordenadas deste ponto para o eixo "x" e para o eixo "y". Então, vamos escrever isso aqui: cosseno de “π + Θ” é igual a menos cosseno de Θ, e seno de “π + Θ” ou “Θ + π” é igual a menos o seno de Θ. E o que você poderia, agora, perceber aqui é ver qual outra relação a gente tem. Se a gente resolver pegar este aqui, quais são as outras relações que têm em relação aos resultados diferentes que a gente achou? Como a gente consegue fazer outras reflexões? Eu proponho que você pense nisso e tente fazer você mesmo como em cada um deles você pode relacionar com o outro, usando, essencialmente, como base as simetrias ou reflexões em torno do eixo "x" e do eixo "y". É isso, pessoal! Até nosso próximo vídeo!