Existem várias funções que apresentam características de repetição e periodicidade em nosso cotidiano. Elas são estudadas mais a fundo por determinados profissionais, mas, na maioria das vezes, passam desapercebidas por nós.

Vamos ver alguns exemplos dessas funções e mostrar que os conceitos de amplitude e período podem ser explorados.

Tomemos como exemplo a altura relativa ao eixo de uma marca feita numa roda que gira em velocidade constante. Suponha que o raio da roda seja de $5cm$‍ e que seu eixo seja o referencial para realizar a medida da altura (se a marca estiver acima do eixo, a distância será positiva; mas, caso a marca esteja abaixo do eixo, a distância será negativa). Verificando a altura a partir do início do movimento, é possível elaborar uma tabela mostrando tais distâncias, conforme se vê a seguir.

Observando os valores, podemos verificar que a partir do início do movimento, a altura em relação ao eixo vai aumentando até chegar na altura máxima possível (isso ocorre em $1,5$‍s). Depois, começa a diminuir até obter a altura mínima possível (no momento $4,71$‍s) e, então, retorna ao ponto de origem (aos $6,28$‍s) e reinicia o movimento. Os valores mostrados na tabela podem ser expressos por meio de um gráfico, como o que pode ser observado a seguir.

A forma geral desse gráfico assemelha-se à função trigonométrica elementar $f(x)=sen(x)$‍, contudo, ele apresenta uma amplitude igual a $10$‍ e um período igual a $2\pi$‍.

Dessa maneira, é possível obter a expressão algébrica que representa a altura da marca em relação ao eixo utilizando a expressão $f(x)=asen(bx)$‍.

Nesse caso, o valor de $a$‍ é $5$‍ (metade da amplitude), e o valor de $b$‍ é $1$‍ (pois $2\pi ={\displaystyle \frac{2\pi }{b}}$‍).

Logo, a função que representa o movimento da marca da roda é dada por $f(x)=5sen(x)$‍.

Outro exemplo de utilização pode ser encontrado nos instrumentos musicais. Cada instrumento apresenta características sonoras que podem ser associadas a uma expressão matemática própria.

A amplitude e a duração de cada harmônico presente no som resultante é a diferença básica entre cada instrumento. É o que chamamos de timbre.

A altura está ligada à amplitude da onda sonora gerada pela vibração de um determinado instrumento ou material. Quanto maior a amplitude da onda, maior é a quantidade de energia que ela carrega e, consequentemente, maior é seu volume.

Entretanto, a altura pode ser também tratada como a "afinação" de um som. Ela é um atributo do sistema auditivo humano a partir do qual sons quaisquer podem ser classificados em uma ordem que vai do mais baixo ao mais alto, como numa escala de notas musicais. A relação entre a altura e a afinação está ligada à frequência de vibração do objeto que gerou esse som.

Vamos supor que um determinado instrumento tenha o seguinte gráfico de onda sonora:

Podemos extrair alguns valores do gráfico:

Analisando o gráfico, podemos perceber que a expressão matemática de uma onda complexa poderia ter a seguinte forma $f(x)=asen(bx)$‍, pois se assemelha à função seno.

O valor de $a$‍ é $4$‍ (sua amplitude é $8$‍), e o valor de $b$‍ deve ser observado pelo período. De $0$‍ a $2\pi$‍ a função se repete $3$‍ vezes, e isso significa que $b$‍ é igual a $3.$‍

Logo, a função pode ser descrita como $f(x)=4sen(3x)$‍.

A maré é um dos fenômenos naturais mais conhecidos. Ela ocorre em razão do movimento periódico de subida e descida do nível da água, produzindo, dessa maneira, as chamadas marés altas e marés baixas.

Quando as marés estão no nível mais alto, são chamadas de preamar (PM). Caso contrário, no nível mais baixo, são chamadas de baixa-mar (BM).

A Figura 1 exemplifica o comportamento das marés.

Enquanto a Terra gira em seu movimento diário, o bojo de água continua sempre apontando aproximadamente na direção da Lua. Em certo momento, um determinado ponto da Terra estará embaixo da Lua e terá maré alta. Aproximadamente seis horas mais tarde ($6h12m$‍), a rotação da Terra terá levado esse ponto a $90°$‍ da Lua, e ele terá maré baixa. Dali a mais $6h12m$‍, o mesmo ponto estará a $180°$‍ da Lua e terá maré alta novamente. Portanto, as marés acontecem duas vezes a cada $24h48$‍, que é a duração do dia lunar.

Se a Terra fosse totalmente coberta de água, a máxima altura da maré seria $1$‍ m. Como a Terra não é completamente coberta de água, vários aspectos resultantes da distribuição das massas continentais contribuem para que a altura e a hora da maré variem de um lugar a outro. Em algumas baías e estuários as marés chegam a atingir $10$‍ m de altura.

Vamos agora analisar um gráfico que representa o movimento das marés no litoral de São Paulo.

É possível perceber que a função se assemelha à função seno: $f(x)=asen(bx)$‍.

A maré tem seu ponto mais alto em $3m$‍, e esse é nosso valor de $a$‍.

Entre $0$‍ e $2\pi$‍, a função se repete $2$‍ vezes. Isso significa que $b=2$‍.

Portanto, a lei de formação da função será $f(x)=3sen(2x)$‍.

Estes foram apenas alguns exemplos de como as funções fazem parte da nossa vida. Existem muitos outros casos de aplicações das funções seno e cosseno e, a partir de agora, você terá uma percepção maior desses casos.