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Problemas que envolvem periodicidade

O foco deste artigo é mostrar ao estudante que problemas que envolvem periodicidade possuem uma extrema afinidade com as funções trigonométricas. Isto ocorre pois este tipo de função apresenta características de repetição envolvendo os valores que são inseridos nela (período da função) e, também, dos valores que elas apresentam (imagens).

Funções periódicas

Existem várias funções que apresentam características de repetição e periodicidade em nosso cotidiano. Elas são estudadas mais a fundo por determinados profissionais, mas, na maioria das vezes, passam desapercebidas por nós.
Vamos ver alguns exemplos dessas funções e mostrar que os conceitos de amplitude e período podem ser explorados.
Tomemos como exemplo a altura relativa ao eixo de uma marca feita numa roda que gira em velocidade constante. Suponha que o raio da roda seja de 5cm e que seu eixo seja o referencial para realizar a medida da altura (se a marca estiver acima do eixo, a distância será positiva; mas, caso a marca esteja abaixo do eixo, a distância será negativa). Verificando a altura a partir do início do movimento, é possível elaborar uma tabela mostrando tais distâncias, conforme se vê a seguir.
Tempo (s)Altura relativa ao eixo (cm)
00,00
1+4,24
1,5+5,00
2+4,52
3,150,00
3,51,77
43,78
4,715,00
54,80
5,53,55
61,43
6,280,00
Observando os valores, podemos verificar que a partir do início do movimento, a altura em relação ao eixo vai aumentando até chegar na altura máxima possível (isso ocorre em 1,5s). Depois, começa a diminuir até obter a altura mínima possível (no momento 4,71s) e, então, retorna ao ponto de origem (aos 6,28s) e reinicia o movimento. Os valores mostrados na tabela podem ser expressos por meio de um gráfico, como o que pode ser observado a seguir.
Imagem 1: Gráfico criado a partir dos dados da tabela.
A forma geral desse gráfico assemelha-se à função trigonométrica elementar f(x)=sen(x), contudo, ele apresenta uma amplitude igual a 10 e um período igual a 2π.
Dessa maneira, é possível obter a expressão algébrica que representa a altura da marca em relação ao eixo utilizando a expressão f(x)=asen(bx).
Nesse caso, o valor de a é 5 (metade da amplitude), e o valor de b é 1 (pois 2π=2πb).
Logo, a função que representa o movimento da marca da roda é dada por f(x)=5sen(x).

Ondas sonoras

Outro exemplo de utilização pode ser encontrado nos instrumentos musicais. Cada instrumento apresenta características sonoras que podem ser associadas a uma expressão matemática própria.
A amplitude e a duração de cada harmônico presente no som resultante é a diferença básica entre cada instrumento. É o que chamamos de timbre.
A altura está ligada à amplitude da onda sonora gerada pela vibração de um determinado instrumento ou material. Quanto maior a amplitude da onda, maior é a quantidade de energia que ela carrega e, consequentemente, maior é seu volume.
Entretanto, a altura pode ser também tratada como a "afinação" de um som. Ela é um atributo do sistema auditivo humano a partir do qual sons quaisquer podem ser classificados em uma ordem que vai do mais baixo ao mais alto, como numa escala de notas musicais. A relação entre a altura e a afinação está ligada à frequência de vibração do objeto que gerou esse som.
Vamos supor que um determinado instrumento tenha o seguinte gráfico de onda sonora:
Imagem 2: Gráfico de ondas sonoras.
Podemos extrair alguns valores do gráfico:
TempoAltura
π24
00
π24
π0
3π2 4
2π 0
5π24
Analisando o gráfico, podemos perceber que a expressão matemática de uma onda complexa poderia ter a seguinte forma f(x)=asen(bx), pois se assemelha à função seno.
O valor de a é 4 (sua amplitude é 8), e o valor de b deve ser observado pelo período. De 0 a 2π a função se repete 3 vezes, e isso significa que b é igual a 3.
Logo, a função pode ser descrita como f(x)=4sen(3x).

As marés

A maré é um dos fenômenos naturais mais conhecidos. Ela ocorre em razão do movimento periódico de subida e descida do nível da água, produzindo, dessa maneira, as chamadas marés altas e marés baixas.
Quando as marés estão no nível mais alto, são chamadas de preamar (PM). Caso contrário, no nível mais baixo, são chamadas de baixa-mar (BM).
A Figura 1 exemplifica o comportamento das marés.
Imagem 3: Comportamento das marés.
Enquanto a Terra gira em seu movimento diário, o bojo de água continua sempre apontando aproximadamente na direção da Lua. Em certo momento, um determinado ponto da Terra estará embaixo da Lua e terá maré alta. Aproximadamente seis horas mais tarde (6h12m), a rotação da Terra terá levado esse ponto a 90° da Lua, e ele terá maré baixa. Dali a mais 6h12m, o mesmo ponto estará a 180° da Lua e terá maré alta novamente. Portanto, as marés acontecem duas vezes a cada 24h48, que é a duração do dia lunar.
Se a Terra fosse totalmente coberta de água, a máxima altura da maré seria 1 m. Como a Terra não é completamente coberta de água, vários aspectos resultantes da distribuição das massas continentais contribuem para que a altura e a hora da maré variem de um lugar a outro. Em algumas baías e estuários as marés chegam a atingir 10 m de altura.
Vamos agora analisar um gráfico que representa o movimento das marés no litoral de São Paulo.
Imagem 4: Gráfico representando o movimento das marés no litoral de São Paulo.
É possível perceber que a função se assemelha à função seno: f(x)=asen(bx).
A maré tem seu ponto mais alto em 3m, e esse é nosso valor de a.
Entre 0 e 2π, a função se repete 2 vezes. Isso significa que b=2.
Portanto, a lei de formação da função será f(x)=3sen(2x).
Estes foram apenas alguns exemplos de como as funções fazem parte da nossa vida. Existem muitos outros casos de aplicações das funções seno e cosseno e, a partir de agora, você terá uma percepção maior desses casos.

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