O foco deste artigo é auxiliar na resolução de equações trigonométricas elementares do tipo $sen(x)=a$‍ e $cos(x)=b$‍. Para isso, vamos identificar valores constantes no gráfico dessas funções.

Tomemos como primeiro exemplo quais valores de x têm $sen(x)=1$‍ e $sen(x)=-1$‍.

Observando o gráfico da função, é possível identificar para quais valores as condições impostas são satisfeitas.

No caso de $sen(x)=1$‍, $x$‍ terá os seguintes valores:

(...)

Logo, é possível afirmar que o valor de $sen(x)$‍ sempre será $1$‍ quando $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+n\times 2\pi$‍, com $n$‍ sendo um número inteiro qualquer.

E, analogamente, $sen(x)=-1$‍ quando $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+n\times 2\pi$‍, com $n$‍ sendo um número inteiro qualquer.

Da mesma forma, podemos pensar em quais valores de $x$‍ têm $cos(x)=1$‍ e $cos(x)=-1$‍.

Observando o gráfico, podemos estabelecer:

No caso de $cos(x)=1$‍, $x$‍ terá os seguintes valores:

$0$‍, $2\pi$‍, $4\pi$‍, $6\pi$‍, ...

Logo, é possível afirmar que o valor de $cos(x)$‍ sempre será $1$‍ quando $x=n\times 2\pi$‍, com $n$‍ sendo um número inteiro qualquer.

No caso de $cos(x)=-1$‍, $x$‍ terá os seguintes valores:

(...)

Logo, é possível afirmar que o valor de $cos(x)$‍ sempre será $-1$‍ quando $x=\pi +n\times 2\pi$‍, com $n$‍ sendo um número inteiro qualquer.

Para valores não notáveis (aqueles que não se encontram de maneira evidente no ciclo trigonométrico), é possível explorar as funções inversas da calculadora científica associadas à representação dos arcos no ciclo trigonométrico.

Por exemplo: Para quais valores de $x$‍ temos que $sen(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}$‍?

Atenção! Antes de efetuar o cálculo, devemos ativar as medidas em radianos na calculadora científica apertando a tecla "RAD".

Primeiro, digitamos na calculadora $1÷3$‍, obtendo $\mathrm{0,333}\dots$‍

Em seguida, ativamos a tecla "segunda função" (ou a função inversa $2^{nd}$‍ ). Nesse momento, é possível verificar que a função $sin$‍ aparece como $si{n}^{-1}$‍.

Ao apertar a função $si{n}^{-1}$‍, é possível determinar o ângulo cujo seno é ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Nesse caso, o valor será aproximadamente $0,34rad$‍.

Representando o valor no ciclo trigonométrico, temos:

Contudo, existe outro arco no segundo quadrante que também apresenta como seno o valor ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Para determiná-lo, devemos deduzir de $\pi rad$‍ o valor encontrado $(0,34rad)$‍.

Nesse caso, temos:

Finalmente, devemos generalizar os valores obtidos para arcos que se encontrem nas outras voltas do ciclo trigonométrico. Como cada volta completa no ciclo trigonométrico equivale a $2\pi rad$‍, temos que os valores de $x$‍ que satisfazem a equação $sen(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ são $x=0,34+2\pi \times n$‍ e $x=2,8+2\pi \times n$‍ para $n$‍ inteiro e positivo.

Devemos lembrar que os valores de $seno$‍ são positivos nos $2$‍ primeiros quadrantes. Por isso, pensamos em $\pi -\alpha$‍. Caso fosse $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍, o valor de $x$‍ estaria no terceiro e no quarto quadrante. Então, pensaríamos em $\pi +\alpha$‍ e $2\pi -\alpha$‍.

Vamos precisar fazer a conversão ao primeiro quadrante sempre da mesma forma:

Se estivéssemos trabalhando com o cosseno, teríamos de pensar que ele tem valores positivos no primeiro e no quarto quadrante, e negativos no segundo e no terceiro quadrante.

Os cálculos para arcos não notáveis são análogos para $seno$‍ e $cosseno$‍.

Para concluir, se a equação de $seno$‍ ou $cosseno$‍ pedir um valor de $x$‍ que dê um dos arcos fundamentais, o gráfico nos ajudará a responder. Basta observar o padrão, o período. Quando o valor da imagem da função for um valor diferente dos arcos fundamentais, precisaremos da ajuda de uma calculadora científica. Ela nos dará o valor em radianos para um ângulo do primeiro quadrante e, em seguida, fazemos a conversão dos outros quadrantes conforme a tabela anterior.