Mais problemas que envolvem periodicidade

O foco deste artigo é mostrar que problemas envolvendo periodicidade podem ser modelados com o auxílio das funções $f(x)=a\cdot sen(b\cdot x)+c$‍ e $f(x)=a\cdot cos(b\cdot x)+c$‍ e que eles podem ter os mais diferentes contextos nas áreas do conhecimento, principalmente naquelas ligadas às Ciências da Natureza.

Tomemos como exemplo a variação da temperatura de uma localidade ao longo de $26$‍ horas, conforme podemos observar no gráfico a seguir.

Deseja-se obter a função trigonométrica que mais se aproxime da variação de temperatura verificada ao longo desse período de tempo.

Observando o formato do gráfico, é possível concluir que a situação pode ser modelada por meio da função $f(x)=a\cdot cos(b\cdot x)+c$‍.

Nesse caso, devemos determinar os coeficientes $a,b$‍ e $c$‍ para determinar a função desejada.

O primeiro passo é identificar a amplitude da função. Isso é possível determinando a metade da distância entre o maior valor e o menor valor que a função assume. Nesse caso, temos:

Como a maior temperatura verificada foi $15$‍ºC e a menor temperatura foi $5$‍ºC, a diferença entre tais valores corresponde à amplitude da função $(15-5=10$‍ºC). Logo, o valor do coeficiente $a$‍ é igual a ${\displaystyle \frac{10}{2}}=5.$‍

O próximo passo é identificar o período da função. Nesse caso, devemos verificar o intervalo necessário para que a função repita algum dos valores apresentados.

A imagem a seguir mostra que no momento de início da medição de temperatura ($t=0h$‍), a localidade apresentava $15$‍ºC e que retornou a esse valor após aproximadamente $25,13h$‍ (o que equivale a $8\pi$‍).

Para determinar o coeficiente $b$‍, pode-se comparar seu período com o período da função elementar $f(x)=cos(x)$‍ [que é $2\pi$‍]. Nesse caso, temos que $8\pi =|{\displaystyle \frac{2\pi }{b}}|$‍ e o valor do coeficiente $b$‍ é ${\displaystyle \frac{1}{4}}$‍.

Por último, devemos considerar a translação que os pontos da função $f(x)=cos(x)$‍ sofreram para gerar a função exibida. Sabemos que $cos(0º)=1$‍, mas já determinamos que a função fora multiplicada por $5$‍. Dessa maneira, $5cos(0º)=5\cdot 1=5.$‍ Como o gráfico da função apresenta que para $x=0$‍ temos $f(x)=15$‍, isso significa que a função elementar $f(x)=cos(x)$‍ foi transladada $10$‍ unidades na direção vertical no sentido para cima. Esse é o valor do coeficiente $c$‍.

Dessa maneira, a função que representa a variação de temperatura da cidade é dada por $f(x)=5cos({\displaystyle \frac{x}{4}})+10$‍.

Vamos para mais um exemplo.

Observe o gráfico que representa a variação das marés em Boston, Massachusetts, no período de $1$‍ dia.

As marés são bem interessantes. Elas são influenciadas pela força gravitacional, tanto da luz da lua quanto da luz do sol. As marés altas e baixas seguem um padrão periódico, que pode ser modelado com a função seno.

Em um determinado dia de inverno, a maré alta em Boston ocorreu às $3h$‍ da manhã:

Deseja-se obter a função trigonométrica $H(t)$‍ (com $t$‍ sendo medido em horas, e $H$‍, em ) que mais se aproxime da altura da água no porto verificada ao longo desse período de tempo.

Observando o formato do gráfico, é possível concluir que a situação pode ser modelada por meio da função $f(x)=a\cdot sen(b\cdot x)+c$‍.

Nesse caso, devemos determinar os coeficientes $a,b$‍ e $c$‍ para determinar a função desejada.

Um primeiro passo é identificar a amplitude da função. Isso é possível determinando a metade da distância entre o maior valor e o menor valor que a função assume.

Nesse caso, temos que:

Como a maior altura verificada foi $11$‍ pés e a menor altura foi $1$‍ pé, a diferença entre tais valores corresponde à amplitude da função $(11-1=10)$‍ pés. Logo, o valor do coeficiente $a$‍ é igual a ${\displaystyle \frac{10}{2}}=5.$‍

O próximo passo é identificar o período da função. Nesse caso, devemos verificar o intervalo necessário para que a função repita algum dos valores apresentados.

A imagem a seguir mostra que a maré atingiu sua altura máxima em $t=3$‍ horas e repetiu essa altura aproximadamente $12,55$‍ horas depois (o que equivale a $4\pi$‍).

Para determinar o coeficiente $b$‍, pode-se comparar seu período com o período da função elementar $f(x)=sen(x)$‍ [que é $2\pi$‍]. Nesse caso, temos que $4\pi =|{\displaystyle \frac{2\pi }{b}}|$‍ e o valor do coeficiente $b$‍ é ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Por último, devemos considerar a translação que os pontos da função $f(x)=sen(x)$‍ sofreram para gerar a função exibida. Sabemos que $sen(0º)=0$‍, mas já determinamos que a função fora multiplicada por $5$‍. Dessa maneira, $5\cdot sen(0º)=5\cdot 0=0$‍. Como o gráfico da função apresenta que para $x=0$‍ temos $f(x)=6$‍, isso significa que a função elementar $f(x)=sen(x)$‍ foi transladada $6$‍ unidades na direção vertical no sentido para cima. Esse é o valor do coeficiente $c$‍.

Dessa maneira, a função que representa a variação de temperatura da cidade é dada por $f(x)=5sen({\displaystyle \frac{x}{2}})+6$‍.

Vamos resumir os passos para não ficar nenhum dúvida.

$1)$‍ Primeiro, devemos observar se a função referida se assemelha à função seno ou à função cosseno.

$2)$‍ O próximo passo é determinar a amplitude da função. A linha média ajudará nessa observação. Teremos o valor de $a$‍.

$3$‍) Depois, vamos pensar no período da função. Pense nos pontos mais altos do gráfico, por exemplo, e veja quando os valores se repetem. Transforme esse valor em $\pi rad$‍ e pense que, ao dividir $2\pi$‍ pelo coeficiente $b$‍, devemos encontrar a distância entre esses pontos mais altos do gráfico.

$4)$‍ Perceba a translação vertical feita por meio do valor da abscissa nula. Esse valor transladado nos dará o coeficiente $c$‍.