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Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 8
Lição 7: Resolvendo problemas envolvendo funções trigonométricas- Interpretação de gráficos trigonométricos em contexto
- Interpretação de gráficos trigonométricos em contexto
- Problema de trigonometria: modelagem da temperatura diária
- Problema de trigonometria: modelagem da temperatura anual
- Modelagem com funções senoidais
- Problema de trigonometria: duração do dia (mudança de fase)
- Modelagem com funções senoidais: mudança de fase
- Mais problemas que envolvem periodicidade
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Mais problemas que envolvem periodicidade
O foco deste artigo é mostrar ao estudante que problemas que envolvem periodicidade podem ser modelados com auxílio das funções f(x) = a.sen(b x)+c ou f(x) = a.cos(b.x) + c. Para isso é possível explorar diferentes contextos nas mais diversas áreas do conhecimento, sendo principalmente aquelas ligadas à Ciências da Natureza.
O foco deste artigo é mostrar que problemas envolvendo periodicidade podem ser modelados com o auxílio das funções e e que eles podem ter os mais diferentes contextos nas áreas do conhecimento, principalmente naquelas ligadas às Ciências da Natureza.
Tomemos como exemplo a variação da temperatura de uma localidade ao longo de horas, conforme podemos observar no gráfico a seguir.
Deseja-se obter a função trigonométrica que mais se aproxime da variação de temperatura verificada ao longo desse período de tempo.
Observando o formato do gráfico, é possível concluir que a situação pode ser modelada por meio da função .
Nesse caso, devemos determinar os coeficientes e para determinar a função desejada.
O primeiro passo é identificar a amplitude da função. Isso é possível determinando a metade da distância entre o maior valor e o menor valor que a função assume. Nesse caso, temos:
Como a maior temperatura verificada foi ºC e a menor temperatura foi ºC, a diferença entre tais valores corresponde à amplitude da função ºC). Logo, o valor do coeficiente é igual a
O próximo passo é identificar o período da função. Nesse caso, devemos verificar o intervalo necessário para que a função repita algum dos valores apresentados.
A imagem a seguir mostra que no momento de início da medição de temperatura ( ), a localidade apresentava ºC e que retornou a esse valor após aproximadamente (o que equivale a ).
Para determinar o coeficiente , pode-se comparar seu período com o período da função elementar [que é ]. Nesse caso, temos que e o valor do coeficiente é .
Por último, devemos considerar a translação que os pontos da função sofreram para gerar a função exibida. Sabemos que , mas já determinamos que a função fora multiplicada por . Dessa maneira, Como o gráfico da função apresenta que para temos , isso significa que a função elementar foi transladada unidades na direção vertical no sentido para cima. Esse é o valor do coeficiente .
Dessa maneira, a função que representa a variação de temperatura da cidade é dada por .
Vamos para mais um exemplo.
Observe o gráfico que representa a variação das marés em Boston, Massachusetts, no período de dia.
As marés são bem interessantes. Elas são influenciadas pela força gravitacional, tanto da luz da lua quanto da luz do sol. As marés altas e baixas seguem um padrão periódico, que pode ser modelado com a função seno.
Em um determinado dia de inverno, a maré alta em Boston ocorreu às da manhã:
Deseja-se obter a função trigonométrica (com sendo medido em horas, e , em ) que mais se aproxime da altura da água no porto verificada ao longo desse período de tempo.
Observando o formato do gráfico, é possível concluir que a situação pode ser modelada por meio da função .
Nesse caso, devemos determinar os coeficientes e para determinar a função desejada.
Um primeiro passo é identificar a amplitude da função. Isso é possível determinando a metade da distância entre o maior valor e o menor valor que a função assume.
Nesse caso, temos que:
Como a maior altura verificada foi pés e a menor altura foi pé, a diferença entre tais valores corresponde à amplitude da função pés. Logo, o valor do coeficiente é igual a
O próximo passo é identificar o período da função. Nesse caso, devemos verificar o intervalo necessário para que a função repita algum dos valores apresentados.
A imagem a seguir mostra que a maré atingiu sua altura máxima em horas e repetiu essa altura aproximadamente horas depois (o que equivale a ).
Para determinar o coeficiente , pode-se comparar seu período com o período da função elementar [que é ]. Nesse caso, temos que e o valor do coeficiente é .
Por último, devemos considerar a translação que os pontos da função sofreram para gerar a função exibida. Sabemos que , mas já determinamos que a função fora multiplicada por . Dessa maneira, . Como o gráfico da função apresenta que para temos , isso significa que a função elementar foi transladada unidades na direção vertical no sentido para cima. Esse é o valor do coeficiente .
Dessa maneira, a função que representa a variação de temperatura da cidade é dada por .
Vamos resumir os passos para não ficar nenhum dúvida.
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