Neste artigo, mostraremos que é possível obter o gráfico de uma função trigonométrica por meio de transformações geométricas aplicadas nas funções trigonométricas elementares $(y=sen(x)$‍ e $y=cos(x))$‍.

Primeiro, vamos pensar em como obter o gráfico da função $y=2sen(x)-1$‍.

É importante perceber que a função trigonométrica elementar que está associada nesse exemplo é a função $y=sen(x)$‍ .

A figura a seguir mostra o gráfico de $y=sen(x)$‍.

O que ocorreria se multiplicássemos por $2$‍ a imagem de cada ponto da função?

Em outras palavras, se $sen({\displaystyle \frac{\pi }{2}})=1$‍, então, associaremos o seno do arco ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍ com $2$‍.

Aplicando essa transformação em todos os pontos do gráfico, obtemos:

E o que ocorreria no gráfico obtido se transladássemos cada um de seus pontos $1$‍ unidade na direção vertical para baixo?

Vamos observar no gráfico a seguir.

Ao multiplicar a função $y=sen(x)$‍ por $2$‍, ampliamos sua imagem de $[-1,1]$‍ para $[-2,2]$‍, ou seja, multiplicar a função por um valor natural não nulo não altera as abscissas, porém, as ordenadas ficam ampliadas, "mais altas". Para deixar a imagem reduzida, basta multiplicar a função por um número racional entre $0$‍ e $1$‍.

No segundo momento, transladamos a função $1$‍ unidade para baixo, ou seja, fazer a função $f(x)+n$‍ sendo $n$‍ um número real qualquer implica que vamos mover a função no eixo $y$‍ para cima, se $n>0$‍, ou para baixo, se $n<0$‍.

Enquanto o Conjunto Imagem da primeira função é $[-1,+1]$‍, após a aplicação das transformações, obtemos como Conjunto Imagem $[-1,+1]\to [-2,+2]\to [-2-1,+2-1]\to [-3,+1]$‍.

Vamos agora fazer uma comparação dos gráficos das funções $y=cos(x)$‍ e $y=cos({\displaystyle \frac{x}{2}})$‍.

A imagem a seguir exemplifica esse tipo de situação.

Realizando a comparação com base nos gráficos mostrados, é possível elaborar a seguinte tabela:

Nesse exemplo, comparando os valores obtidos pelas funções $y=cos(x)$‍ com $y=cos({\displaystyle \frac{x}{2}})$‍, é possível observar que o valor do arco da terceira coluna à direita é o dobro do valor da segunda coluna.

Podemos pensar então que, se a alteração for feita no $x$‍, dentro da função trigonométrica, o que fica ampliado ou reduzido será o eixo $x$‍. Multiplicar $x$‍ por um valor maior que $1$‍ reduzirá a função (ela ficará comprimida), e multiplicar a função por um valor entre $0$‍ e $1$‍ ampliará a função (esticaremos a função).

Vamos agora pensar nas duas transformações juntas.

Como ficaria o gráfico da função $y={\displaystyle \frac{1}{2}}\times cos({\displaystyle \frac{1}{4}}x)+1$‍?

Por meio da função $y=cos(x)$‍, devemos:

1) quadruplicar os valores dos arcos utilizados (ampliar o período $4$‍ vezes);

2) dividir por $2$‍ as imagens dos arcos utilizados (reduzir a imagem $2$‍ vezes);

3) transladar $1$‍ unidade na vertical e para cima o gráfico obtido anteriormente.

E temos o gráfico procurado.

Primeiro, precisamos perceber se a função está associada a $y=sen(x)$‍ ou a $y=cos(x)$‍ e imaginar seu gráfico. Se dentro da função o $x$‍ estiver multiplicado por algum número, isso vai alterar a função deslizando ou encolhendo seus zeros no eixo $x$‍. Se a função estiver multiplicada por algum número ou somada a algum número real, ela deslizará pelo eixo $y$‍.

Vale salientar que essas transformações em gráficos de função não se aplicam apenas para funções trigonométricas. Podemos pensar em deslocamentos verticais, ampliações, reduções e rotações horizontais para todos os tipos de funções.