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Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 8
Lição 4: Usando transformações geométricas para traçar gráficos de funções trigonométricas- Exemplo: representação gráfica de y=3⋅sen(½⋅x)-2
- Exemplo: representação gráfica de y=-cos(π⋅x)+1,5
- Gráfico de funções senoidais
- Função senoidal a partir do gráfico
- Construção de funções senoidais
- Faça o gráfico de funções senoidais: mudança de fase
- Usando transformações geométricas para traçar gráficos de funções trigonométricas
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Usando transformações geométricas para traçar gráficos de funções trigonométricas
O foco deste artigo é mostrar ao estudante que é possível obter o gráfico de uma função trigonométrica a partir de transformações geométricas aplicadas nas funções trigonométricas elementares (y = sen (x) e y = cos (x)).
Neste artigo, mostraremos que é possível obter o gráfico de uma função trigonométrica por meio de transformações geométricas aplicadas nas funções trigonométricas elementares e .
Alterando a função no eixo
Primeiro, vamos pensar em como obter o gráfico da função .
É importante perceber que a função trigonométrica elementar que está associada nesse exemplo é a função .
A figura a seguir mostra o gráfico de .
O que ocorreria se multiplicássemos por a imagem de cada ponto da função?
Em outras palavras, se , então, associaremos o seno do arco com .
Aplicando essa transformação em todos os pontos do gráfico, obtemos:
E o que ocorreria no gráfico obtido se transladássemos cada um de seus pontos unidade na direção vertical para baixo?
Vamos observar no gráfico a seguir.
Ao multiplicar a função por , ampliamos sua imagem de para , ou seja, multiplicar a função por um valor natural não nulo não altera as abscissas, porém, as ordenadas ficam ampliadas, "mais altas". Para deixar a imagem reduzida, basta multiplicar a função por um número racional entre e .
No segundo momento, transladamos a função unidade para baixo, ou seja, fazer a função sendo um número real qualquer implica que vamos mover a função no eixo para cima, se , ou para baixo, se .
Enquanto o Conjunto Imagem da primeira função é , após a aplicação das transformações, obtemos como Conjunto Imagem .
Alterando a função no eixo x
Vamos agora fazer uma comparação dos gráficos das funções e .
A imagem a seguir exemplifica esse tipo de situação.
Realizando a comparação com base nos gráficos mostrados, é possível elaborar a seguinte tabela:
Nesse exemplo, comparando os valores obtidos pelas funções com , é possível observar que o valor do arco da terceira coluna à direita é o dobro do valor da segunda coluna.
Podemos pensar então que, se a alteração for feita no , dentro da função trigonométrica, o que fica ampliado ou reduzido será o eixo . Multiplicar por um valor maior que reduzirá a função (ela ficará comprimida), e multiplicar a função por um valor entre e ampliará a função (esticaremos a função).
Vamos agora pensar nas duas transformações juntas.
Como ficaria o gráfico da função ?
Por meio da função , devemos:
1) quadruplicar os valores dos arcos utilizados (ampliar o período vezes);
2) dividir por as imagens dos arcos utilizados (reduzir a imagem vezes);
3) transladar unidade na vertical e para cima o gráfico obtido anteriormente.
E temos o gráfico procurado.
Resumindo:
Primeiro, precisamos perceber se a função está associada a ou a e imaginar seu gráfico.
Se dentro da função o estiver multiplicado por algum número, isso vai alterar a função deslizando ou encolhendo seus zeros no eixo .
Se a função estiver multiplicada por algum número ou somada a algum número real, ela deslizará pelo eixo .
Vale salientar que essas transformações em gráficos de função não se aplicam apenas para funções trigonométricas. Podemos pensar em deslocamentos verticais, ampliações, reduções e rotações horizontais para todos os tipos de funções.
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- Na tabela acima se x= pi/6 então x/2 não seria pi/12?(1 voto)