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Usando transformações geométricas para traçar gráficos de funções trigonométricas

O foco deste artigo é mostrar ao estudante que é possível obter o gráfico de uma função trigonométrica a partir de transformações geométricas aplicadas nas funções trigonométricas elementares (y = sen (x) e y = cos (x)).
Neste artigo, mostraremos que é possível obter o gráfico de uma função trigonométrica por meio de transformações geométricas aplicadas nas funções trigonométricas elementares (y=sen(x) e y=cos(x)).

Alterando a função no eixo y

Primeiro, vamos pensar em como obter o gráfico da função y=2sen(x)1.
É importante perceber que a função trigonométrica elementar que está associada nesse exemplo é a função y=sen(x) .
A figura a seguir mostra o gráfico de y=sen(x).
Imagem 1: Gráfico da função seno.
O que ocorreria se multiplicássemos por 2 a imagem de cada ponto da função?
Em outras palavras, se sen(π2)=1, então, associaremos o seno do arco π2 com 2.
Aplicando essa transformação em todos os pontos do gráfico, obtemos:
Imagem 2: Gráfico da função seno pós transformações.
E o que ocorreria no gráfico obtido se transladássemos cada um de seus pontos 1 unidade na direção vertical para baixo?
Vamos observar no gráfico a seguir.
Imagem 3: Gráfico da função seno transladado.
Ao multiplicar a função y=sen(x) por 2, ampliamos sua imagem de [1,1] para [2,2], ou seja, multiplicar a função por um valor natural não nulo não altera as abscissas, porém, as ordenadas ficam ampliadas, "mais altas". Para deixar a imagem reduzida, basta multiplicar a função por um número racional entre 0 e 1.
No segundo momento, transladamos a função 1 unidade para baixo, ou seja, fazer a função f(x)+n sendo n um número real qualquer implica que vamos mover a função no eixo y para cima, se n>0, ou para baixo, se n<0.
Enquanto o Conjunto Imagem da primeira função é [1,+1], após a aplicação das transformações, obtemos como Conjunto Imagem [1,+1][2,+2][21,+21][3,+1].

Alterando a função no eixo x

Vamos agora fazer uma comparação dos gráficos das funções y=cos(x) e y=cos(x2).
A imagem a seguir exemplifica esse tipo de situação.
Imagem 4: Comparação entre gráficos.
Realizando a comparação com base nos gráficos mostrados, é possível elaborar a seguinte tabela:
cos(x)xx2
32π6π3
22π4π2
12π32π3
0π2π
Nesse exemplo, comparando os valores obtidos pelas funções y=cos(x) com y=cos(x2), é possível observar que o valor do arco da terceira coluna à direita é o dobro do valor da segunda coluna.
Podemos pensar então que, se a alteração for feita no x, dentro da função trigonométrica, o que fica ampliado ou reduzido será o eixo x. Multiplicar x por um valor maior que 1 reduzirá a função (ela ficará comprimida), e multiplicar a função por um valor entre 0 e 1 ampliará a função (esticaremos a função).
Vamos agora pensar nas duas transformações juntas.
Como ficaria o gráfico da função y=12×cos(14x)+1?
Por meio da função y=cos(x), devemos:
1) quadruplicar os valores dos arcos utilizados (ampliar o período 4 vezes);
2) dividir por 2 as imagens dos arcos utilizados (reduzir a imagem 2 vezes);
3) transladar 1 unidade na vertical e para cima o gráfico obtido anteriormente.
E temos o gráfico procurado.
Resumindo:
Primeiro, precisamos perceber se a função está associada a y=sen(x) ou a y=cos(x) e imaginar seu gráfico. Se dentro da função o x estiver multiplicado por algum número, isso vai alterar a função deslizando ou encolhendo seus zeros no eixo x. Se a função estiver multiplicada por algum número ou somada a algum número real, ela deslizará pelo eixo y.
Vale salientar que essas transformações em gráficos de função não se aplicam apenas para funções trigonométricas. Podemos pensar em deslocamentos verticais, ampliações, reduções e rotações horizontais para todos os tipos de funções.

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