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Matemática EM: Medidas e Trigonometria

Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 9

Lição 2: Algumas funções trigonométricas inversas
Matemática
Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Algumas identidades trigonométricas
Algumas funções trigonométricas inversas
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Introdução às funções trigonométricas inversas

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Saiba mais sobre arco seno, arco cosseno e arco tangente, e sobre como eles podem ser usados para encontrar a medida de ângulos desconhecidos de triângulos retângulos.
Vamos dar uma olhada em um novo tipo de problema de trigonometria. Curiosamente, esses problemas não podem ser resolvidos com seno, cosseno ou tangente.
Problema: no triângulo abaixo, quanto mede o ângulo L?
Um triângulo retângulo cujos catetos medem trinta e cinco e sessenta e cinco. O ângulo L é oposto ao cateto menor e é desconhecido.
O que já sabemos: em relação a angle, L, já sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, então podemos escrever:
t, g, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Porém, isso não é suficiente para que saibamos a medida de angle, L. Estamos sem saída!
O que precisamos: precisamos de novas ferramentas para resolver problemas como esses. Nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não estão à altura da tarefa. Eles transformam ângulos em razões, mas precisamos de funções que transformem razões em ângulos. Precisamos das funções trigonométricas inversas!

Funções trigonométricas inversas

Já conhecemos as operações inversas. Por exemplo, adição e subtração são operações inversas e multiplicação e divisão são, também, operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
Na trigonometria, a ideia é a mesma. As funções trigonométricas inversas fazem exatamente o oposto das funções trigonométricas "normais". Por exemplo:
  • O seno inverso left parenthesis, s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o oposto do seno.
  • O cosseno inverso left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o oposto do cosseno.
  • A tangente inversa left parenthesis, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o oposto da tangente.
Em linhas gerais, se você sabe a razão trigonométrica, mas não o ângulo, pode usar a função trigonométrica inversa correspondente para encontrar o ângulo. Isso é explicado de forma matemática nas demonstrações abaixo.
Funções trigonométricas têm ângulos como entrada e razões como saídaFunções trigonométricas inversas têm razões como entrada e ângulos como saída
s, e, n, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrows, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fractionright arrowt, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Alerta de erro de conceito!

A expressão s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis não é a mesma coisa que start fraction, 1, divided by, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Ou seja, o minus, 1 não é um expoente. Em vez disso, ele simplesmente sinaliza que se trata de uma função inversa.
FunçãoGráfico
s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis
Um plano cartesiano. O eixo x se inicia em zero e vai até noventa, de dez em dez. Ele está identificado como graus. O eixo y se inicia em zero e é contado de dois em dois décimos. Ele está identificado como uma razão. A reta representada graficamente está identificada como seno de x, a qual é uma curva não linear. A reta de seno de x se inicia na origem e passa pelos pontos vinte e quatro e zero vírgula quatro, por quarenta e zero vírgula sessenta e sete, por cinquenta e dois e zero vírgula oito e por noventa e um. Ela está aumentando a partir da origem até chegar ao ponto de coordenada noventa e um. A taxa de variação se torna menor, ou menos inclinada, conforme os graus, ou valores de x, se tornam maiores. Todos os pontos são aproximados.
s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (também chamado de a, r, c, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis) |
Um plano cartesiano. O eixo x se inicia em zero e segue sendo contado de dois em dois décimos. Ele está identificado como razão. O eixo y se inicia em zero e vai até noventa, de dez em dez. Ele está identificado como graus. A reta representada graficamente está identificada como inversa do seno de x, a qual é uma curva não linear. A reta da inversa do seno de x se inicia na origem e passa pelos pontos zero vírgula quatro e vinte e quatro, por zero vírgula sessenta e sete e quarenta, por zero vírgula oito e cinquenta e dois, e por um e noventa. Ela está aumentando a partir da origem até chegar ao ponto de coordenada um e noventa. A taxa de variação se torna maior, ou mais inclinada, conforme as razões, ou valores de x, tornam-se maiores. Todos os pontos são aproximados.
start fraction, 1, divided by, s, e, n, x, end fraction (também chamado de c, o, s, s, e, c, left parenthesis, x, right parenthesis) |
Um plano cartesiano. O eixo x se inicia em zero e vai até noventa, de dez em dez. Ele está identificado como graus. O eixo y se inicia em zero e segue sendo contado de dois em dois décimos. Ele está identificado como uma razão. A reta representada graficamente é um dividido pelo seno de x, a qual é uma curva não linear. A reta da cossecante de x se inicia de forma decrescente a partir do ponto na coordenada trinta e dois. Ela continua decrescente até chegar ao ponto na coordenada noventa e um. A taxa de variação se inicia inclinada no ponto de coordenada trinta e dois, mas sua inclinação se torna menor conforme o gráfico passa pelos pontos quarenta e um vírgula cinquenta e cinco, por cinquenta e um vírgula três, e por sessenta e cinco e um vírgula um. A taxa de variação se torna muito pequena à medida que o gráfico se aproxima do ponto de coordenada noventa e um. Todos os pontos são aproximados.
No entanto, existe uma notação alternativa que evita essa armadilha! Também podemos expressar a função inversa do seno como a, r, c, s, e, n, a função inversa do cosseno como a, r, c, c, o, s, e a função inversa da tangente como a, r, c, t, g. Essa notação é comum em linguagens de programação de computadores, mas menos comum em matemática.

Solução do problema proposto

No problema proposto, foram dados os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, então podemos usar a tangente inversa para encontrar o ângulo.
Um triângulo retângulo com vértices L e V em que o ângulo L é desconhecido. O lado entre os ângulos L e o de noventa graus tem sessenta e cinco unidades de comprimento. O lado entre o ângulo reto e o vértice V tem trinta e cinco unidades de comprimento.
m∠L=tg⁡−1( cateto oposto  cateto adjacente)Defina.m∠L=tg⁡−1(3565)Substitua valores.m∠L≈28,30∘Resolva com o auxıˊlio de uma calculadora.\begin{aligned} { m\angle L}&=\operatorname{tg}^{-1} \left(\dfrac{\blueD{\text{ cateto oposto }} }{\maroonC{\text{ cateto adjacente}}}\right)&{\gray{\text{Defina.}}} \\\\ m\angle L&=\operatorname{tg}^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)&{\gray{\text{Substitua valores.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28{,}30^\circ &{\gray{\text{Resolva com o auxílio de uma calculadora.}}}\end{aligned}

Agora, vamos tentar resolver alguns problemas.

Problema 1
Dado triangle, K, I, P, calcule m, angle, I.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
O triângulo retângulo K I P em que o ângulo A P I é um ângulo reto. O ângulo K I P é desconhecido. O lado K I mede dez unidades. O lado K P mede oito unidades.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 2
Dado triangle, D, E, F, calcule m, angle, E.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
O triângulo retângulo D E F em que o ângulo D F E é um ângulo reto. O ângulo D E F é desconhecido. O lado D F tem quatro unidades de comprimento. O lado E F tem seis unidades de comprimento.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 3
Dado triangle, L, Y, N, calcule m, angle, Y.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
O triângulo retângulo L Y N em que o ângulo Y L N é um ângulo reto. O ângulo L Y N é desconhecido. O lado Y N tem dez unidades de comprimento. O lado L Y tem três unidades de comprimento.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Desafio
Resolva todo o triângulo. Ou seja, calcule todos os lados e ângulos desconhecidos.
Arredonde suas respostas para duas casas decimais.
O triângulo retângulo O Z E em que o ângulo O E Z é um ângulo reto. O lado O Z tem nove unidades de comprimento. O lado E Z tem quatro unidades de comprimento.
O, E, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
m, angle, O, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
m, angle, Z, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

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