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Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 9
Lição 2: Algumas funções trigonométricas inversasIntrodução às funções trigonométricas inversas
Saiba mais sobre arco seno, arco cosseno e arco tangente, e sobre como eles podem ser usados para encontrar a medida de ângulos desconhecidos de triângulos retângulos.
Vamos dar uma olhada em um novo tipo de problema de trigonometria. Curiosamente, esses problemas não podem ser resolvidos com seno, cosseno ou tangente.
Problema: no triângulo abaixo, quanto mede o ângulo L?
O que já sabemos: em relação a angle, L, já sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, então podemos escrever:
Porém, isso não é suficiente para que saibamos a medida de angle, L. Estamos sem saída!
O que precisamos: precisamos de novas ferramentas para resolver problemas como esses. Nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não estão à altura da tarefa. Eles transformam ângulos em razões, mas precisamos de funções que transformem razões em ângulos. Precisamos das funções trigonométricas inversas!
Funções trigonométricas inversas
Já conhecemos as operações inversas. Por exemplo, adição e subtração são operações inversas e multiplicação e divisão são, também, operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
Na trigonometria, a ideia é a mesma. As funções trigonométricas inversas fazem exatamente o oposto das funções trigonométricas "normais". Por exemplo:
- O seno inverso left parenthesis, s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o oposto do seno.
- O cosseno inverso left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o oposto do cosseno.
- A tangente inversa left parenthesis, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o oposto da tangente.
Em linhas gerais, se você sabe a razão trigonométrica, mas não o ângulo, pode usar a função trigonométrica inversa correspondente para encontrar o ângulo. Isso é explicado de forma matemática nas demonstrações abaixo.
Funções trigonométricas têm ângulos como entrada e razões como saída | Funções trigonométricas inversas têm razões como entrada e ângulos como saída | |
---|---|---|
s, e, n, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction | right arrow | s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction | right arrow | t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
Alerta de erro de conceito!
A expressão s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis não é a mesma coisa que start fraction, 1, divided by, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Ou seja, o minus, 1 não é um expoente. Em vez disso, ele simplesmente sinaliza que se trata de uma função inversa.
Função | Gráfico |
---|---|
s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis |
s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (também chamado de a, r, c, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis) |
start fraction, 1, divided by, s, e, n, x, end fraction (também chamado de c, o, s, s, e, c, left parenthesis, x, right parenthesis) |
No entanto, existe uma notação alternativa que evita essa armadilha! Também podemos expressar a função inversa do seno como a, r, c, s, e, n, a função inversa do cosseno como a, r, c, c, o, s, e a função inversa da tangente como a, r, c, t, g. Essa notação é comum em linguagens de programação de computadores, mas menos comum em matemática.
Solução do problema proposto
No problema proposto, foram dados os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, então podemos usar a tangente inversa para encontrar o ângulo.
Agora, vamos tentar resolver alguns problemas.
Quer participar da conversa?
- Gostaria de aprender, como calcular essas funções sem o uso de calculadora cientifica? sei trabalhar com o Teorema de Pitágoras e razões trigonométricas, preciso apenas saber como calcular essa lacuna que deixaram em todas as questões respondendo-as com uma calculadora.(13 votos)
- A Série de Taylor é uma ferramenta matemática estudada em Cálculo que te permite definir arcsin, arccos e arctg sem o emprego de tabelas ou calculadoras. Mas vai te exigir horas de trabalho árduo, dependendo do grau de precisão exigido na resposta. No final de todos esses cálculos, você ainda vai ficar pensando: 'Será que errei em algum passo?'.(12 votos)
- No Primeiro exemplo fiquei em duvida em como ele transformou 35/65 em 28,30*(1 voto)
- Algumas calculadoras exibem o resultado em radianos, que daria 0,49... e você precisa converter em graus. O procedimento na calculadora é multiplicar o resultado por 57,3° graus, que é aproximadamente 1 radiano(5 votos)
- Alguem poderia me ajudar a entender o calculo ? porque meus resultados estão nem chegando perto do correto(1 voto)
- Na parte da solução sobre o último desafio na resposta de "oe" o correto não seria: √97 que daria o resultado de 9.84. Não seria essa a resposta correta?!(1 voto)
- 4²+x²=9²
16+x²=81
x²=81-16
x²=65
x=V65
x=8.06(3 votos)
- Calcule
�
∠
�
m∠Bm, angle, B.
Arredonde para o grau inteiro mais próximo.
∘
∘
degrees(2 votos) - só da pra resolver com calculadora?(2 votos)
- minha calculadora é diferente, a casio usa o Shift para ativar a função sobre a tecla escrita na cor igual a cor do shift(2 votos)
- Há possibilidade de achar o ângulo do triângulo por esse método, mas sem o uso de calculadora?(1 voto)
- sim, se voçe tiver uma tabela com os valores de todos os agulos de seno, cosseno e tangente ou se der angulos fixos como 30 45 e 60 q tem sua tabela como fração, tirando isso so com calculadora mesmo(2 votos)
- Aproxime para o ângulo mais próximo
14
15
8
∘
degrees(1 voto) - como faço para calcular o inverso sem o uso da calculadora . a minha é a CASIO fx-82MS e utilizo o valor dado do seno por exemplo apertando SHIFT+sin-1(1 voto)
- O resultado do calculo neste caso dará uma dizima periódica então só você pegar a tabela de ângulos que é tipo está abaixo
link: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/tabela-trigonometrica-completa.jpg
e só você relacionar o resultado com a tabela
espero ter ajudado(3 votos)