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Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 6
Lição 3: Conhecendo o radianoConhecendo o radiano
Os focos deste artigo são conceituar o que é o radiano como sendo uma unidade de medida de arcos e trazer subsídios para que o estudante realize conversões entre a medida de um arco em radianos e sua medida em graus.
Para medir ângulos e arcos presentes em nossa vida prática, utilizamos a unidade mais comum: os graus. Mas existe uma segunda unidade que é muito importante para a Matemática: os
.
Para entender melhor esse conceito, vamos ver um exemplo:
Lucas deseja medir o comprimento do aro da roda de sua bicicleta usando um dos raios da própria roda. Quantas vezes ele conseguirá utilizar o raio da bicicleta para realizar essa medição?
Primeiramente, vamos pensar que o raio da roda da bicicleta é flexível. Veja na figura:
O desafio consiste em determinar quantas vezes a medida do raio cabe na medida da circunferência. Como estamos utilizando a própria medida do raio para efetuar a medição, esta será nossa unidade de medida, que, nesse caso, é chamada de radiano.
Vamos definir neste momento o radiano como sendo uma unidade para medirmos arcos contidos numa circunferência, de tal modo que um arco que mede 1, space, r, a, d apresente seu comprimento igual ao próprio raio da circunferência.
Verificando experimentalmente quantas vezes a medida do raio está contida na medida da circunferência, é possível observar que ele cabe, aproximadamente, 6 vezes.
Na realidade, o radiano cabe cerca de 6, comma, 28 vezes equals, 2, pi vezes left parenthesis, 2, times, 3, comma, 14, right parenthesis no comprimento da circunferência.
Como a circunferência é o maior arco que pode estar contido na própria circunferência, sua medida está associada à medida do ângulo central determinado por suas extremidades.
Desta maneira, utilizando o radiano para medir o ângulo central da circunferência, temos que sua medida é 2, pi rad.
Sabendo que o ângulo central da circunferência mede 2, pi, space, r, a, d, é possível determinar submúltiplos para medirmos arcos cujo comprimento seja diferente da própria circunferência:
| Arco | Medida em radianos (rad) |
|---|---|
| 1 volta | 2, pi |
| start fraction, 1, divided by, 2, end fraction volta | pi |
| start fraction, 1, divided by, 4, end fraction de volta | start fraction, pi, divided by, 2, end fraction |
| start fraction, 1, divided by, 8, end fraction de volta | start fraction, pi, divided by, 4, end fraction |
Também é possível relacionar as medidas dos arcos em radianos com suas respectivas medidas em graus. Nesse caso, temos que:
| Arco | Medida em radianos (rad) | Medida em grau |
|---|---|---|
| 1 volta | 2, pi | 360, º |
| start fraction, 1, divided by, 2, end fraction volta | pi | 180, º |
| start fraction, 1, divided by, 4, end fraction de volta | start fraction, pi, divided by, 2, end fraction | 90, º |
| start fraction, 1, divided by, 8, end fraction de volta | start fraction, pi, divided by, 4, end fraction | 45, º |
Ainda, podemos explorar as seguintes ideias de composição dos submúltiplos do radiano:
- se start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, r, a, d equivale a 90, º, então start fraction, 3, pi, divided by, 2, end fraction, r, a, d equivale a 270, º;
- se start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d equivale a 45, º, então start fraction, 3, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d equivale a 135, º;
- se start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d rad equivale a 45, º, então start fraction, 5, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d rad equivale a 225, º;
- se pi, space, r, a, d equivale a 180, º, então start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 60, º e start fraction, 2, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 120, º;
- se start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 60, º, então start fraction, 5, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 300, º.
Para fazer qualquer transformação de graus para radianos, e vice-versa, podemos utilizar uma regra de 3 simples. Por exemplo:
Quantos radianos equivalem a 250, °?
180, º ------------ pi, space, r, a, d
250, º ------------- x
Quantos graus equivalem a start fraction, 7, pi, divided by, 5, end fraction, r, a, d ?
180, º ------------ pi, space, r, a, d
x ---------------- start fraction, 7, pi, divided by, 5, end fraction, r, a, d
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