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Conhecendo o radiano

Os focos deste artigo são conceituar o que é o radiano como sendo uma unidade de medida de arcos e trazer subsídios para que o estudante realize conversões entre a medida de um arco em radianos e sua medida em graus.
Para medir ângulos e arcos presentes em nossa vida prática, utilizamos a unidade mais comum: os graus. Mas existe uma segunda unidade que é muito importante para a Matemática: os
.
Para entender melhor esse conceito, vamos ver um exemplo:
Lucas deseja medir o comprimento do aro da roda de sua bicicleta usando um dos raios da própria roda. Quantas vezes ele conseguirá utilizar o raio da bicicleta para realizar essa medição?
Primeiramente, vamos pensar que o raio da roda da bicicleta é flexível. Veja na figura:
Imagem 1: Utilizando a medida do próprio raio para medir o comprimento da circunferência.
O desafio consiste em determinar quantas vezes a medida do raio cabe na medida da circunferência. Como estamos utilizando a própria medida do raio para efetuar a medição, esta será nossa unidade de medida, que, nesse caso, é chamada de radiano.
Vamos definir neste momento o radiano como sendo uma unidade para medirmos arcos contidos numa circunferência, de tal modo que um arco que mede 1, space, r, a, d apresente seu comprimento igual ao próprio raio da circunferência.
Verificando experimentalmente quantas vezes a medida do raio está contida na medida da circunferência, é possível observar que ele cabe, aproximadamente, 6 vezes.
Imagem 2: Comparação entre a medida do raio e o comprimento da circunferência.
Na realidade, o radiano cabe cerca de 6, comma, 28 vezes equals, 2, pi vezes left parenthesis, 2, times, 3, comma, 14, right parenthesis no comprimento da circunferência.
Como a circunferência é o maior arco que pode estar contido na própria circunferência, sua medida está associada à medida do ângulo central determinado por suas extremidades.
Desta maneira, utilizando o radiano para medir o ângulo central da circunferência, temos que sua medida é 2, pi rad.
Sabendo que o ângulo central da circunferência mede 2, pi, space, r, a, d, é possível determinar submúltiplos para medirmos arcos cujo comprimento seja diferente da própria circunferência:
ArcoMedida em radianos (rad)
1 volta2, pi
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction voltapi
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction de voltastart fraction, pi, divided by, 2, end fraction
start fraction, 1, divided by, 8, end fraction de voltastart fraction, pi, divided by, 4, end fraction
Também é possível relacionar as medidas dos arcos em radianos com suas respectivas medidas em graus. Nesse caso, temos que:
ArcoMedida em radianos (rad)Medida em grau
1 volta2, pi360, º
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction voltapi180, º
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction de voltastart fraction, pi, divided by, 2, end fraction90, º
start fraction, 1, divided by, 8, end fraction de voltastart fraction, pi, divided by, 4, end fraction45, º
Ainda, podemos explorar as seguintes ideias de composição dos submúltiplos do radiano:
  • se start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, r, a, d equivale a 90, º, então start fraction, 3, pi, divided by, 2, end fraction, r, a, d equivale a 270, º;
  • se start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d equivale a 45, º, então start fraction, 3, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d equivale a 135, º;
  • se start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d rad equivale a 45, º, então start fraction, 5, pi, divided by, 4, end fraction, r, a, d rad equivale a 225, º;
  • se pi, space, r, a, d equivale a 180, º, então start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 60, º e start fraction, 2, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 120, º;
  • se start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 60, º, então start fraction, 5, pi, divided by, 3, end fraction, r, a, d equivale a 300, º.
Para fazer qualquer transformação de graus para radianos, e vice-versa, podemos utilizar uma regra de 3 simples. Por exemplo:
Quantos radianos equivalem a 250, °?
180, º ------------ pi, space, r, a, d
250, º ------------- x
x, equals, start fraction, 250, °, pi, space, r, a, d, divided by, 180, °, end fraction, equals, start fraction, 25, pi, divided by, 18, end fraction, r, a, d
Quantos graus equivalem a start fraction, 7, pi, divided by, 5, end fraction, r, a, d ?
180, º ------------ pi, space, r, a, d
x ---------------- start fraction, 7, pi, divided by, 5, end fraction, r, a, d
x, pi, equals, 180, °, times, start fraction, 7, pi, divided by, 5, end fraction, r, a, d
x, equals, start fraction, 252, º, pi, divided by, pi, end fraction, equals, 252, °

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