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Medindo arcos

O objetivo principal deste artigo é mostrar ao estudante que a medida de um arco de uma circunferência está associada à medida do ângulo central delimitado por suas extremidades. Para isso uma boa estratégia que pode ser explorada é a delimitação de arcos de mesma medida usando circunferências concêntricas. Dessa maneira fica evidente ao estudante que a medida de um arco está associada ao ângulo central e não ao seu comprimento.

Arcos de circunferência

Todo arco de circunferência tem uma relação com o ângulo central, e essa relação pode ser observada ao longo da seguinte construção:
Vamos traçar uma circunferência C1 de centro O e raio OA. Em seguida, podemos escolher um ponto B (distinto de A) da mesma circunferência para delimitar o arco AB:
Figura 1: Determinação do Arco AB.
Como poderíamos medir o arco AB?
Essa pergunta não se refere ao comprimento, e sim à abertura do arco em graus, por exemplo.
Para responder a essa pergunta, podemos pensar na possibilidade de unir as extremidades do arco com o centro da circunferência e delimitar o arco AÔB que, nesse exemplo, mede 70º.
Figura 2: Medida da abertura do arco AB.
Vamos agora construir outra circunferência que apresente um arco da mesma medida do primeiro.
Em qual posição poderíamos colocar o centro da circunferência para garantir que o segundo arco tenha a mesma abertura do primeiro?
Usando o ponto O como centro da segunda circunferência e prolongando os lados AO e OB do ângulo AÔB, encontramos os pontos C e D na segunda circunferência e, assim, determinamos o arco CD (cujo ângulo central no exemplo também mede 70º).
Figura 3: Determinação do arco CD.
E como faríamos se quiséssemos construir uma nova circunferência que apresentasse um arco com a mesma medida dos dois primeiros? Onde deveríamos colocar o centro da nova circunferência? Como determinaríamos as extremidades do novo arco?
Novamente, bastaria utilizar o ponto O como centro da circunferência e prolongar os lados CO e OD para obter os pontos E e F, determinando, assim, o arco EF.
Figura 4: Determinação do arco EF
Analisando os desenhos dos arcos e suas circunferências, podemos questionar quais características os arcos AB, CD e EF possuem em comum. Em todos eles, foram construídas circunferências concêntricas, e todos esses arcos têm o mesmo tamanho (mesma abertura). Pensando nisso, podemos entender que a medida do arco de uma circunferência é determinada pelo ângulo central da circunferência que o contém e não está associada a seu comprimento.
Vejamos, agora, exemplos em nossa vida prática de ângulos centrais alinhados com arcos de circunferência.

Gráficos estatísticos de pizza

Imagem 1: Exemplo de ângulos em gráficos.
Nesses gráficos, podemos perceber que quanto maior a abertura, mais determinada característica aparece.

Campo de visão

Imagem 2: Campo de visão de uma pessoa.
Nossa visão segue uma espécie de setor circular – conseguimos olhar ao redor girando a cabeça ou mexendo os olhos, mas se fixamos o olhar em determinado objeto, nossa visão segue a ideia de arcos.

Sinal do Wi-Fi

Imagem 3: Símbolo do Wi-Fi.
Nessa imagem comum de nosso dia a dia, podemos perceber arcos de circunferências concêntricas. Quanto mais arcos vemos, melhor está o sinal da internet.

Camadas da Terra

Imagem 4: Camadas da Terra.
Observando a Terra, podemos pensar em setores para analisar suas camadas. Todas essas camadas teriam o mesmo valor angular, conforme mostra a figura.
Esses foram apenas alguns exemplos de como é importante estudar essa parte da geometria. Na Física, por exemplo, o estudo de ondas e tantos outros experimentos só é possível graças ao estudo de círculos e circunferências.

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