Como calcular medidas de arcos com equações

RKA - Na circunferência abaixo, qual a medida do arco BC em graus? O arco BC... Ele está se referindo ao arco menor, pois se ele se referisse ao arco maior, ou seja, por esse lado de cá, ele se referiria como BAC ou BDC. Portanto, ele quer a medida desse arco. A medida desse arco vai ser a medida do ângulo central. Nós temos esse ângulo central, que é (4k + 159) graus, que vai ser igual a esse ângulo aqui, porque eles são ângulos opostos pelo vértice. Portanto, 4k + 159 vai ser igual a 2k + 153. Subtraindo 2k de ambos os lados, e subtraindo... Vamos subtrair... Aqui é 2k. Vamos subtrair 159 desse lado, para ele desaparecer, e vamos subtrair 159 desse lado também. Então, vamos ficar com a nossa equação da seguinte forma: 4k - 2k, nós temos 2k. 159 elimina com 159. Vai ser igual a... 2k - 2k = 0. 153 - 159 = -6. Portanto, k = -6 sobre 2, que vai ser igual a -3. Você pode dizer: "Opa, espera aí! Tem um grau negativo aqui... o que é isso?" E tal. Ele quer saber esse ângulo, a medida do arco BC, ou ângulo central, que intercepta os pontos BC. E, quando nos referimos ao ângulo central, estamos também nos referindo ao ângulo menor, ou seja, o arco BC dessa forma aqui. Portanto, substituindo na equação, nós temos... no lugar de k vamos colocar -3. Portanto, temos: 4 vezes -3 + 159 é igual a... 4 vezes -3, -12, mais 159... Dá... 159 - 12 = 147. 147 graus. Vamos resolver mais uma questão. A circunferência P está abaixo. Qual é a medida do arco BC? Como ele falou BC, está querendo esse arco aqui, ou seja, esse arco menor. Se ele quisesse se referir ao arco maior, teria colocado uma letra aqui... ABCD, por exemplo. Então, seria CDB... Em graus. O arco a que ele está querendo se referir é o arco BC. Então, é esse arco aqui, que vai ser igual à medida do ângulo central que intercepta os pontos B e C. Nós sabemos que a soma total da circunferência é 360 graus. Como nós temos esse ângulo aqui, temos esse ângulo, e temos esse ângulo, pelo menos, em função de y, todos estão em função de y, significa que, se eu somar 20y - 11 + 4y + 6 + 7y - 7, tem que resultar em um total de 360 graus. Portanto, vamos achar o valor de y. Nós temos: 20 + 4 = 24. 24 + 7 = 31... 31y. E temos: -11 + 6 = -5. -5 - 7 = -12... Igual a 360. 31y = 360 + 12. Ou seja, 372. E temos: y = 372 dividido por 31. Vamos fazer aqui na calculadora... 372 dividido por 31 = 12. Portanto, isso aqui é igual a 12. Ou seja, y = 12. Se y é igual a 12, quanto vale nosso ângulo BAC? Ou seja, quanto vale o nosso ângulo total? Vai ser a medida do arco BAC... Vai ser igual a: 4y + 6 + 7y - 7. Vamos simplificar um pouco antes de substituir. Temos 4y + 7y = 11y. 11y mais... 6 - 7 = -1. E, agora sim, vamos substituir. No lugar de y, o valor dele. Que nós achamos. Então, temos 11 vezes y, que vale 12, menos 1. Vai ser igual a: 12 vezes 11... Vai ser: 12 + 120 = 132. 132 - 1. Ou seja, 131 graus. Esses 131 graus são a medida do ângulo central, e a medida do arco BC.