não entendi esse segundo exemplo! alguém aí pode explicar melhor?

A medida do arco é o nome dado ao ângulo θ em radianos, pela fórmula: medida do arco = comprimento do arco/raio, θ = S/r, então a medida do arco BC = comprimento do arco BC/raio, a medida do arco BC = (81π/10)/27 = 81π/270. Logo a medida do arco CD = medida do arco BD - medida do arco BC, (Obs: medida do arco BD = 1 quadrante = π/2), medida do arco CD = π/2 - 81π/270 = (135 - 81)π/270 = 54π/270 = π/5

Conteúdo principal

Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 6

Lição 5: Usando radianos para medir arcos

Desafios: comprimento de arco (radianos) 2

Google Sala de Aula

Resolva dois problemas desafiadores que pedem que você calcule a medida de um arco por meio do comprimento do arco.

Problema 1

Na figura abaixo,

\overset{―}{A C}

é um diâmetro do círculo

P

. O raio do círculo

P

30

unidades. O comprimento do arco de

\overset{⌢}{B C}

13 π

Qual é a medida do arco de $\overset{⌢}{A B}$ ‍, em radianos?

Estamos tentando descobrir a medida do arco do arco que começa no ponto

A

e termina no ponto

B

A medida de um arco é igual à medida do ângulo central que o cruza. Então, temos que saber a medida de

∠ A P B

Precisamos saber qual é a circunferência total para determinar a medida do arco de

\overset{⌢}{B C}

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (30) \\ = 60 π \end{aligned}$ ‍

Sabemos qual é o comprimento de

\overset{⌢}{B C}

, então podemos definir uma proporção para descobrir a medida de seu arco.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em um círculo} \\ \frac{13 π}{60 π} & = \frac{medida do arco}{2 π} \\ medida do arco & = 2 π \cdot \frac{13 π}{60 π} \\ = \frac{13}{30} π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{B C}

\frac{13}{30} π

. De maneira semelhante, a medida de

∠ B P C = \frac{13}{30} π

Como

\overset{―}{C A}

é um diâmetro,

∠ A P B

∠ B P C

são complementares. Então, suas medidas somadas resultam em

π

$\begin{array}{r} \frac{13}{30} π + m ∠ A P B = π \\ m ∠ A P B = \frac{17}{30} π \end{array}$ ‍

A medida de $\overset{⌢}{A B}$ ‍ é $\frac{17}{30} π$ ‍.

Problema 2

Na figura abaixo,

\overset{―}{A D}

é um diâmetro do círculo

P

. O raio do círculo

P

27

unidades. O comprimento do arco de

\overset{⌢}{B C}

\frac{81}{10} π

Qual é a medida do arco de $\overset{⌢}{C D}$ ‍, em radianos?

Estamos tentando descobrir a medida do arco do arco que começa no ponto

C

e termina no ponto

D

A medida de um arco é igual à medida do ângulo central que o cruza. Então, temos que saber a medida de

∠ C P D

Precisamos saber qual é a circunferência total para determinar a medida do arco de

\overset{⌢}{B C}

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (27) \\ = 54 π \end{aligned}$ ‍

Sabemos qual é o comprimento de

\overset{⌢}{B C}

, então podemos definir uma proporção para descobrir a medida de seu arco.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em um círculo} \\ \frac{(\frac{81}{10} π)}{54 π} & = \frac{medida do arco}{2 π} \\ medida do arco & = \frac{81}{10} π \cdot \frac{2 π}{54 π} \\ = \frac{3}{10} π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{B C}

\frac{3}{10} π

. De maneira semelhante, a medida de

∠ B P C = \frac{3}{10} π

Como

\overset{―}{A D}

é um diâmetro,

∠ A P B

∠ B P C

∠ C P D

são complementares. Então, suas medidas somadas resultam em

π

$\begin{array}{r} \frac{π}{2} + \frac{3}{10} π + m ∠ C P D = π \\ m ∠ C P D = \frac{π}{5} \end{array}$ ‍

A medida de $\overset{⌢}{C D}$ ‍ é $\frac{π}{5}$ ‍ radianos.

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Elion Jonathan Tostes da Silva
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “não entendi esse segundo ...” de Elion Jonathan Tostes da Silva
não entendi esse segundo exemplo!
alguém aí pode explicar melhor?
Botão para a página de cadastroComentar sobre a postagem “não entendi esse segundo ...” de Elion Jonathan Tostes da Silva
(3 votos)
Resposta
- Eduardo Antonio
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “A medida do arco é o nome...” de Eduardo Antonio
  A medida do arco é o nome dado ao ângulo θ em radianos, pela fórmula: medida do arco = comprimento do arco/raio, θ = S/r, então a medida do arco BC = comprimento do arco BC/raio, a medida do arco BC = (81π/10)/27 = 81π/270. Logo a medida do arco CD = medida do arco BD - medida do arco BC, (Obs: medida do arco BD = 1 quadrante = π/2), medida do arco CD = π/2 - 81π/270 = (135 - 81)π/270 = 54π/270 = π/5
  Botão para a página de cadastro
  (3 votos)

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.