Círculo trigonométrico

RKA - O que eu tentei desenhar aqui é um círculo unitário e o fato de ele ser unitário significa que ele tem um raio igual a 1. Portanto, a distância do centro, que eu coloquei bem na origem do eixo x e y, a distância do centro até aqui em qualquer ponto do círculo, vai ser igual a 1. Logo, qual vai ser essa coordenada aqui onde a circunferência toca o eixo do x? Ora, vai ser 1 para x e zero para y. E essa coordenada aqui? Ora, nos movemos uma unidade para cima, no eixo do y, e nenhuma unidade nem para a esquerda, nem para a direita. Portanto, zero para x, 1 para y. Já essa coordenada aqui, nós nos movemos 1 unidade para a esquerda, nenhuma para cima e para baixo, ou seja, -1 para x e zero para y. Para finalizar, esta daqui, nós não nos movemos no eixo do x, mas nos movemos 1 unidade para baixo no eixo do y. Zero para x e -1 para y. E o que eu vou fazer agora é convencional que vai ser um ângulo positivo. Eu vou chamar esse lado aqui de lado inicial do ângulo. E para construir um ângulo positivo, eu vou andar na direção anti-horária dessa circunferência. Portanto, ângulo positivo vai significar sentido anti-horário. E essa é apenas a convenção que eu vou usar, que é a normalmente utilizada. Para um ângulo negativo, nós nos movemos para o sentido horário. Deixa eu construir aqui um ângulo positivo. Ele seria algo, mais ou menos, assim. Ele começou deste lado aqui e a gente subiu aqui no sentido anti-horário, desta maneira. Portanto, esse ângulo aqui é um ângulo positivo que eu vou chamar de Θ (teta). Nós saímos desse lado inicial e subimos no sentido anti-horário, por isso, esse ângulo Θ vai ser um ângulo positivo. O que eu quero fazer aqui é pensar nesse pontinho de interseção entre esse lado final e a circunferência. Vamos dizer que ele tenha coordenada "a" e "b", ou seja, o valor do x é "a" e do y é "b". E onde eu quero chegar com isso é determinar como esse círculo unitário pode nos ajudar a definir as funções trigonométricas, ou seja, nós vamos estender a nossa definição tradicional das funções trigonométricas. E o que eu vou fazer é tornar esse ângulo Θ como um ângulo de um triângulo retângulo Vou fazer aqui um triângulo retângulo, dessa forma. E vou deixar claro que esse ângulo é um ângulo de 90 graus. Ou seja, esse lado em azul é uma altura do triângulo. Portanto, da maneira que eu fiz aqui, Θ é parte deste triângulo retângulo. Agora vamos ver o que a gente pode pensar sobre os lados deste triângulo retângulo. Para isso, a primeira pergunta que eu faço é a seguinte: qual é a medida da hipotenusa desse triângulo retângulo? E aí, sabe dizer qual é a medida dessa hipotenusa? Ora, essa hipotenusa nada mais é do que um raio desse círculo unitário. É ou não é? E como é um círculo unitário, o raio é igual a 1, logo, a hipotenusa tem medida igual a 1. Agora eu quero saber: qual é a medida desse lado azul aqui? Esse lado azul, como você pode perceber, é o lado oposto ao ângulo Θ. Essa altura aqui, que vai ser o lado azul, tem exatamente a mesma medida que o correspondente aqui no eixo do y. Sim ou não? Logo, essa altura aqui tem um comprimento de "b". Portanto, vou colocar aqui, o lado azul vale "b". E seguindo a mesma lógica, qual vai ser o comprimento deste lado aqui, que é a base desse triângulo retângulo? Ora, esse comprimento nada mais é do que o valor da coordenada do x desse ponto. Portanto, vale "a". Beleza? Daqui deste ponto até este ponto, o comprimento vale "a", pois aqui é exatamente o ponto "a" desta intercessão que nós marcamos. E agora eu vou te fazer mais uma pergunta: qual vai ser o cosseno deste ângulo Θ em função de "a" e "b" ou de qualquer outro número que apareça aqui nessas contas? Bom, para fazer isso, eu vou usar aquela famosa técnica mnemônica, "SOH CAH TOA". E essa parte do CAH é a que vai nos ajudar com a parte do cosseno. E ela nos diz que o cosseno de um ângulo é igual à medida do cateto adjacente sobre a hipotenusa. Logo, o lado adjacente a esse ângulo Θ tem medida "a". Então, vai ser "a" sobre o valor da hipotenusa que vale 1. Então, o cosseno de Θ vai ser, simplesmente, a/1 = a. Ele é igual a coordenada do x, deste ponto de interseção aqui do ângulo que nós construímos. E agora vamos pensar no seno de Θ, que eu vou fazer em laranja. Portanto, o seno de Θ vai ser igual a quanto?Para isso, eu vou usar essa parte do SOH. E o SOH nos diz que o seno é o oposto sobre a hipotenusa, cateto oposto "b" sobre a hipotenusa 1. Portanto, escrevendo aqui, vai ser b/1. Daí a gente tem que o seno de Θ é, simplesmente, igual a "b", já que b/1 vai dar "b". E uma coisa interessante acontece. Esse ponto de interseção, que vai ser "a" e "b", eu posso reescrever como sendo o cosseno de Θ e seno de Θ, já que o cosseno de Θ é igual a "a" e o seno de Θ é igual a "b". Portanto, eu posso reescrever isso daqui como sendo cosseno de Θ, já que o "a" é o cosseno de Θ e, no lugar do "b", eu posso colocar seno de Θ, já que seno de Θ é igual a "b". E olha só que interessante, nós usamos apenas o SOH CAH TOA. Agora será que a gente consegue estender essa definição do SOH CAH TOA? Porque ela funciona bem em ângulos positivos maiores do que zero. Além disso, funciona também se o ângulo estiver em graus e, ainda, se eles forem menores que 90 graus. Mas o SOH CAH TOA tem um problema quando o nosso ângulo é igual a zero, quando é negativo ou quando é maior ou igual a 90°. E a gente não pode ter um triângulo retângulo com dois ângulos iguais a 90°. Vou tornar isto mais claro. Vou desenhar aqui um triângulo retângulo. Esse ângulo mede 90° e digamos que esse ângulo é bem grande, eu ainda poderia fazer esse ângulo um pouquinho maior, dessa forma aqui. Eu teria ainda o triângulo retângulo, mas eu não posso ter esse ângulo aqui, por maior que ele seja, igual a 90°. Eu posso fazer um pouquinho maior, olha só. Mas eu não posso ter um ângulo, exatamente, igual a 90°. Dois ângulos, no caso do triângulo retângulo. E as coisas ficam ainda piores quando eu vou além dos 90 graus. Agora vamos fazer, então, uma nova definição das nossas funções trigonométricas, mas que seja ainda consistente com o SOH CAH TOA. Então, em vez de eu ter apenas essas relações de um triângulo retângulo dizendo que o seno é o oposto sobre a hipotenusa, o cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa e a tangente é o oposto sobre o adjacente, eu posso dizer que para qualquer ângulo que eu desenhe nesta circunferência, eu posso usar essas duas convenções aqui. Vamos dizer que o cosseno de Θ é igual à coordenada do x, como a gente viu aqui, onde esse ângulo intercepta a circunferência, ou seja, a coordenada x, onde o lado final do ângulo intercepta o círculo unitário. Assim como nós podemos também definir o seno de Θ como sendo igual à coordenada do y, como a gente viu, onde o lado final do ângulo intercepta o círculo unitário. Então, para qualquer ângulo, esse ponto vai definir o cosseno de Θ e também o seno de Θ. E a tangente de Θ? Como vamos fazer? Bom, assim como o SOH CAH TOA, eu posso falar que a tangente de Θ vai ser igual ao seno de Θ sobre o cosseno de Θ. Que nesse caso aqui, vai ser igual ao y, à coordenada do y onde esse ponto intercepta a circunferência, sobre a coordenada do x onde esse ponto intercepta a circunferência. E nos próximos vídeos, eu vou usar o círculo unitário para definir algumas razões e calcular algumas razões trigonométricas. Valeu? Então, até o próximo vídeo!