Uso de razões trigonométricas recíprocas

RKA7JV - Para um ângulo "E", aqui, o ângulo "E", o seno desse ângulo "E" é igual a 5 sobre a raiz de 41, e a cotangente do ângulo "E" é 8 sobre 10. Encontre os valores das outras quatro razões trigonométricas. E, como sempre, para facilitar na hora de recordar as razões trigonométricas, eu vou usar o "soh cah toa", aquela técnica mnemônica para lembrar das razões seno, cosseno e tangente. Deixe eu escrever aqui, soh cah toa. E no caso do "soh", ele me diz que o seno, no caso aqui é o seno do ângulo "E", o único que a gente está considerando, o seno do ângulo "E" é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Qual é o cateto oposto ao ângulo "E"? É o 5. Esse 5 aqui é o oposto. Portanto, o seno do ângulo "E" vai ser igual ao oposto, que é 5, sobre a hipotenusa. A hipotenusa é o lado maior do triângulo retângulo sempre oposto ao ângulo reto, que, no caso aqui, é o ângulo "F". Então, a hipotenusa, nesse caso aqui, o lado DE, vai ser a √41. Não é isso? Você repara que essa informação é extremamente consistente com o que ele deu para a gente, não é? Essa informação foi dada, basta deduzi-la observando esse diagrama. De qualquer maneira, nós deduzimos isso, beleza? Vamos, agora, pensar sobre o recíproco do seno de "E" que, no caso, vai ser a cossecante desse ângulo "E", e a cossecante, como eu falei, é o recíproco do seno, vai ser a hipotenusa sobre o cateto oposto. E para determinar a cossecante, não precisa nem olhar para o triângulo. Basta a gente inverter essa fração. Então, vai ser √41 sobre 5. Mas se você quiser olhar para cá, também vai descobrir do mesmo jeito. Vamos, agora, pensar sobre o cosseno desse ângulo "E". Pois bem, qual vai ser, então, a medida do cosseno do ângulo "E"? Bem, olhando aqui para o "cah", do soh cah toa, que fala do cosseno, ele me diz que o cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa. Não é isso? Quanto vale aqui a hipotenusa? A gente já sabe, a hipotenusa está aqui, é a √41. Esse é o valor da hipotenusa, já posso escrever aqui. Vai ficar aqui no denominador, √41. E o cateto adjacente? O ângulo "E" está aqui, o cateto adjacente vai ser esse lado FE, que vale "a". E aí, qual é o valor do "a"? A gente não sabe. Eu só sei que ele é o cateto adjacente, mas a medida dele eu não sei. Então, vou colocar simplesmente o "a", que é a medida que ele me dá. Vamos continuar a resolução, talvez eu consiga alguma informação a mais para poder descobrir o valor do "a". Vamos, agora, determinar o recíproco do cosseno de "E" que, no caso, vai ser a secante. A secante do ângulo "E" vai ser o contrário dessa razão, vai ser a hipotenusa sobre o adjacente. Logo, isso vai ser igual a √41 sobre "a", não importando o valor do "a", a gente vai tentar descobri-lo daqui a pouco. Agora, vamos usar o "toa". O "toa" me diz o seguinte, que a tangente desse ângulo "E" é igual ao oposto sobre o adjacente. Qual é o lado oposto a esse ângulo "E"? Está aqui, é o lado que mede 5, é o lado FD. Portanto, vai ser 5 sobre o lado adjacente, que nós não sabemos quanto vale. Então, vai ser 5 sobre "a". Para finalizar, a sexta razão trigonométrica vai ser o recíproco da tangente que é a cotangente do ângulo "E". É só inverter a fração, vai ser o adjacente sobre o oposto, que, nesse nosso caso, vai ser igual a "a" dividido por 5. Não é isso? Adjacente sobre o oposto, "a" sobre 5. Pois bem, será que agora a gente consegue determinar o valor do "a"? Analisando o enunciado, ele me diz que a cotangente do ângulo "E" é 8/10. Como você percebe, 8/10 não é uma fração irredutível, eles compartilham, tanto o 8 quanto o 10, compartilham fatores em comum. Então, quando nós analisamos a cotangente do ângulo "E" como sendo "a" sobre 5, eu posso escrever que isso aqui é igual, já que ele me dá essa igualdade também, é igual a 8 sobre 10, certo? Agora ficou muito simples, temos uma equação para resolver e encontrar o valor do "a". Quando eu encontrar o valor desse "a", eu descubro, automaticamente, o valor de todas as outras razões trigonométricas, é ou não é? Então, eu posso escrever aqui que "a" sobre 5 é igual a 8/10, mas eu posso simplificar 8/10, posso ou não posso? Eu posso dividir por 2 em cima e embaixo nessa fração. Então, eu tenho que 8 dividido por 2 vai dar 4, 10 dividido por 2 dá 5. Nesse caso aqui, como a gente já percebe, o "a" vai ser igual a 4. Mas no caso, eu poderia simplificar, se você quiser fazer passo a passo, multiplico dos 2 lados por 5, e esses 5 se simplificam, e eu vou ter que o "a" vale 4. Logo, eu já posso colocar que a cotangente do ângulo "E" é "a" sobre 5, mas no lugar do "a" eu posso colocar o 4, então, vai ser 4/5, a tangente do ângulo "E", que antes era 5 sobre "a", agora eu já posso colocar o valor desse "a", vai ser 5 sobre 4, o cosseno do ângulo "E", que antes era "a" sobre a √41, agora vai ser igual a 4 sobre √41, já que o "a" vale 4. E a secante do ângulo "E", antes era a √41 sobre "a", como eu já sei o valor do "a", eu posso escrever √41 sobre 4. A gente pode, também, verificar, se a gente quiser, pelo Teorema de Pitágoras, que esse "a" realmente vale 4. Mas o objetivo do problema seria determinar o valor do "a" através das informações que ele nos dá aqui no enunciado, através, no caso aqui, da cotangente do ângulo "E". Ele nos deu como sendo 8/10. Aí, eu consegui descobrir o valor do "a" dessa forma. Mas só para, realmente, a gente verificar, vamos fazer o Teorema de Pitágoras e ver que, realmente, o "a" vale 4. Olha só! Eu posso colocar que 4² mais 5², essa soma dos quadrados dos catetos tem que ser igual ao quadrado da hipotenusa. Então, (√41)². Aqui eu vou ter 4², 16, mais 5² que é 25, (√41)², simplifico, dá 41. E agora, isso aqui satisfez o Teorema de Pitágoras? É claro! 16 mais 25 dá 41. E 41 é igual a 41. Logo, terminamos o exercício. Nos vemos no próximo vídeo!