Demonstração da lei dos cossenos

RKA - No último vídeo, nós resolvemos um problema envolvendo um triângulo, onde nós tínhamos essencialmente que descobrir os lados do triângulo, mas, em vez de usar o Teorema de Pitágoras, por exemplo, eu usei as funções trigonométricas naquela definição do SOH CAH TOA. E também, digamos que não fosse um triângulo retângulo, fosse um triângulo "normal", aí, eu não poderia usar o Teorema de Pitágoras. E, aí, como é que faz? Ora, o que eu vou fazer neste vídeo aqui, por exemplo, é introduzir a você a lei dos cossenos, que lá no último vídeo eu cheguei a provar; só que, dessa vez eu quero fazer um vídeo específico para demonstrar isso, porque eu não quero que o problema interfira no entendimento da demonstração, beleza? E, aí, o objetivo do vídeo é fazer com que você entenda a lei dos cossenos e possa aplicar em qualquer outro problema que você vá resolver depois. Beleza? Então, vamos lá! Vamos dizer que eu tenha aqui um ângulo θ. Esse ângulo aqui mede θ. Só, antes de começar a demonstração... só para dizer que eu gosto de demonstrar as coisas, eu não gosto de memorizar. Quando você chega aos 40 anos, por exemplo, é bem provável que você não tenha mais memorizada a lei dos cossenos aí na sua mente, né? Então, você é capaz de deduzir através deste vídeo, por exemplo. Quer dizer, na verdade, eu não sei se você vai usar a lei dos cossenos aos 40 anos para alguma coisa, mas beleza; se precisar, aqui está o vídeo te explicando. Então, voltando aqui à nossa demonstração: digamos que eu saiba esse ângulo θ aqui, e eu vou nomear estes lados do triângulo. Digamos que esse lado aqui seja o lado "b". Vou chamar de "b" aqui. Então, este lado aqui é o "b"; digamos que aquele outro lado aqui, esse lado azul, é o lado "c"; e esse lado em laranja seja o lado "a". Beleza? Pois bem, se fosse um triângulo retângulo, eu poderia usar novamente o Teorema de Pitágoras, mas, não sendo um triângulo retângulo, eu não posso. E, neste caso aqui, vamos supor que eu conheça a medida do "c", a medida do "b", e queira calcular a medida do "a". O "a" é o termo desconhecido. Ou seja, desde que você conheça três informações nesse triângulo, você consegue encontrar a quarta através da lei dos cossenos. Então, de que maneira a gente pode fazer isso? Bom, para começar a fazer isso, eu vou primeiro desenhar uma linha aqui, um segmento, daqui até aqui, de maneira que eu fique com dois triângulos retângulos. Deixe-me fazer bem perfeitinho aqui. Está bom aqui, assim, né? Beleza! Dois triângulos retângulos aqui. E pronto! Agora que eu tenho dois triângulos retângulos, eu posso usar as funções trigonométricas e posso usar o Teorema de Pitágoras também. Sim ou não? Pois bem, como aqui é um ângulo reto e aqui também, eu tenho esses dois triângulos retângulos. E agora? Agora, eu vou determinar a medida desse lado aqui que estou fazendo em roxo. Beleza? Qual vai ser a medida desse lado aqui? Ora, para determinar a medida desse lado, eu vou usar um SOH CAH TOA. Então, vamos lá! SOH CAH TOA. Pois bem, esse lado aqui é o lado adjacente a esse ângulo θ, e esse outro lado aqui, "b", ele é a hipotenusa desse triângulo retângulo aqui. Sim ou não? Portanto, como eu tenho um lado adjacente ao ângulo θ, e a hipotenusa do triângulo retângulo, eu vou ter que usar aqui o cosseno. Sim ou não? Vamos dizer que esse lado roxo, que eu fiz daqui até aqui, seja um outro lado "d", por exemplo. Então, eu sei que o cosseno de θ vai ser igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Portanto, ele vai ser igual ao "d" sobre o "b". Ou seja, se eu multiplicar ambos os lados por "b", eu vou ter que "d = b(cos θ)". É ou não é? Agora, vamos chamar esse outro lado aqui, em azul, de "e". Qual vai ser esse lado "e" aqui? Ora, esse "e" (veja se você concorda comigo), ele é toda a extensão do lado "c", que é daqui até aqui, menos esse lado "d" aqui. É ou não é? Então, se eu fizer "c - d", eu tenho a medida do "e". Portanto, eu vou dizer aqui que o "e" é igual a "c - d". Mas, como nós já descobrimos o valor do "d" aqui ("b(cos θ)"), eu posso escrever, então, que esse lado "e" é igual a "c - b(cos θ)". É ou não é? No lugar do "d", eu vou colocar "b(cos θ)". Então, está aqui. Essa vai ser a medida desse lado "e". Sim ou não? Agora, é o seguinte: eu quero calcular a medida desse lado vermelho aqui, que eu vou chamar de "m". Beleza? Qual vai ser a medida desse "m"? "m" é o cateto oposto ao ângulo θ. É ou não é? Pois bem, qual vai ser, então, a função trigonométrica que vai envolver o cateto oposto sobre a hipotenusa (sobre esse lado "b" aqui)? Está aqui, é o SOH (Seno é igual ao Oposto sobre a Hipotenusa). É ou não é? Então, calculando esse lado "m" aqui (vou fazer aqui embaixo), eu sei que "m/b" (sim ou não?)... se eu tiver a razão "m" sobre a hipotenusa (o cateto oposto sobre a hipotenusa), isso vai ser igual ao seno do ângulo θ. Ou seja, se eu multiplicar ambos os lados por "b", eu vou ter que "m = b(sen θ)". Está aí. Pois bem, como eu já descobri o valor do "e" (está aqui) e o valor do "m" (que é esse aqui), agora está na hora de descobrir o valor do "a". E, para calcular o valor do "a" aqui, como eu sei o valor desse lado (do "e") e desse lado "m", eu tenho o valor dos dois catetos desse triângulo retângulo, e quero descobrir a hipotenusa. Para isso eu vou usar o quê? O Teorema de Pitágoras. Ora, o Teorema de Pitágoras nos diz o quê? Que o quadrado da hipotenusa (a hipotenusa aqui é "a"; então, vou escrever aqui "a²") vai ser igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja, "m² + e²". É ou não é? Aqui, então, eu posso fazer o seguinte... vou fazer de outra cor, só para ficar um pouco mais arbitrário... "a²" é igual a "m²"(quem é "m"? "m" é "b(sen θ)"; então, eu posso escrever "(b(sen θ))²") mais o "e²" (quem é "e"? "e" é "c - b(cos θ)"; então, vai ser "c - b(cos θ)", tudo isso elevado ao quadrado). Bom, agora, a gente vai usar um pouquinho do nosso conhecimento de álgebra, tá? Então, "a²" vai ser igual a quanto? "b²" (certo?)... "sen² θ", beleza? Então, "b²(sen² θ)" (é isso tudo aqui elevado ao quadrado)... mais... aqui eu tenho o quê? Eu tenho o produto notável que é o quadrado da diferença de dois termos. E o que é isso? É o quadrado do primeiro termo, ou seja, "c²" menos 2 vezes o primeiro (que é "c") vezes o segundo termo (que é "b(cos θ)"; então, "b(cos θ)")... mais o quadrado do segundo termo, ou seja, "b²(cos² θ)", certo? E, agora, eu vou ter o seguinte: eu vou colocar lado a lado esse termo aqui e esse termo aqui. Então, vamos lá. Isso vai ser igual a "b²(sen² θ) + b²(cos² θ)"... e, bem, agora, eu vou escrever esse restante aqui, né?... mais "c² - 2cb(cos θ)". Bem, agora, eu posso fazer o seguinte: eu posso colocar o "b²" em evidência aqui. Posso ou não posso? Então, vai ficar: "b²(sen² θ + cos² θ)", certo? E aquele restante ali: mais "c² - 2cb(cos θ)". E, bem, agora, vai acontecer o seguinte aqui... veja se você não concorda comigo... "sen² θ + cos² θ", isso aqui é igual a 1. Então, eu posso escrever tudo isso da seguinte forma... (vou continuar aqui do lado; vou fazer aqui).... isso vai ser, então: eu vou ter que "a²" é igual a "b²" vezes 1 (que é o próprio "b²") mais "c²" menos "2cb(cos θ)". E essa relação a que nós chegamos aqui agora, nesse momento, é conhecida como a lei dos cossenos. Beleza? E essa lei dos cossenos aqui é muito útil porque é o seguinte: se eu tiver a medida de dois lados e do ângulo formado entre esses dois lados, eu posso determinar a medida do outro lado do triângulo, certo? Ou, então, se eu tiver três informações (pode ser qualquer uma delas), eu posso determinar a quarta. Está certo? Por exemplo, se eu souber o valor de três lados do triângulo, dos três lados dele, eu posso descobrir o valor de qualquer ângulo do triângulo, usando a lei dos cossenos. Então, ela é bastante útil. E, bem, aqui é o seguinte: vai ser bastante útil se você memorizar essa fórmula aqui, tiver ela decorada, só que eu sempre gosto de mostrar de onde ela vem, né? É importante a gente saber de onde a fórmula vem, como deduzir a fórmula. Pois vai que um dia você esqueça. "Não lembro mais essa fórmula aqui!". Ora, aí, você pode simplesmente deduzir fazendo tudo isso aqui novamente, certo? Esse, então, é o lado bom da matemática: você não tem que decorar nada, você tem que entender. Entendendo, você consegue resolver qualquer problema. Beleza? Outra coisa importante que você tem que saber aqui é que essas letras aqui podem variar. Eu poderia ter "c² = a² + b² - 2ab(cos θ)", por exemplo. Isso depende muito de como está configurado o triângulo, de como eu determinei o θ e as letras aqui dos lados, certo? Portanto, tente não decorar; ou então, se decorar, tente entender como funciona. Beleza? E nos vemos no próximo vídeo!