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Matemática EM: Medidas e Trigonometria

Curso: Matemática EM: Medidas e Trigonometria > Unidade 4

Lição 3: Resolvendo problemas envolvendo triângulos quaisquer
Matemática
Matemática EM: Medidas e Trigonometria
Trigonometria em triângulos quaisquer
Resolvendo problemas envolvendo triângulos quaisquer
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Revisão da lei dos senos e cossenos

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Revise a lei dos senos e a lei dos cossenos e use-as para resolver problemas com qualquer triângulo.

Lei dos senos

start fraction, a, divided by, s, e, n, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, s, e, n, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, s, e, n, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Lei dos cossenos

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Quer saber mais sobre a lei dos senos? Confira este vídeo.
Quer saber mais sobre a lei dos cossenos? Confira este vídeo.

Conjunto de exercícios 1: resolução de triângulos usando a lei dos senos

Essa lei é útil para encontrar um ângulo desconhecido quando dado um ângulo e dois lados, ou para encontrar um lado desconhecido quando dado dois ângulos e um lado.

Exemplo 1: como encontrar o lado desconhecido

Vamos encontrar A, C no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos senos, start fraction, A, B, divided by, s, e, n, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, s, e, n, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Agora, podemos inserir os valores e resolver:
ABsen⁡(∠C)=ACsen⁡(∠B)5sen⁡(33∘)=ACsen⁡(67∘)5sen⁡(67∘)sen⁡(33∘)=AC8,45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\operatorname{sen}(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\operatorname{sen}(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\operatorname{sen}(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\operatorname{sen}(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\operatorname{sen}(67^\circ)}{\operatorname{sen}(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Exemplo 2: como encontrar um ângulo desconhecido

Vamos encontrar m, angle, A no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos senos, start fraction, B, C, divided by, s, e, n, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, s, e, n, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Agora, podemos inserir os valores e resolver:
BCsen⁡(∠A)=ABsen⁡(∠C)11sen⁡(∠A)=5sen⁡(25∘)11sen⁡(25∘)=5sen⁡(∠A)11sen⁡(25∘)5=sen⁡(∠A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\operatorname{sen}(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\operatorname{sen}(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\operatorname{sen}(\angle A)}&=\dfrac{5}{\operatorname{sen}(25^\circ)} \\\\ 11\operatorname{sen}(25^\circ)&=5\operatorname{sen}(\angle A) \\\\ \dfrac{11\operatorname{sen}(25^\circ)}{5}&=\operatorname{sen}(\angle A) \end{aligned}
Ao calcularmos usando uma calculadora e arredondarmos:
m, angle, A, equals, s, e, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, s, e, n, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Lembre-se de que, se o ângulo desconhecido é obtuso, devemos pegar 180, degrees e subtrair o que obtivemos na calculadora.
Problema 1.1
  • Atual
B, C, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Arredonde para a dezena mais próxima.

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 2: resolução de triângulos usando a lei dos cossenos

Essa lei é mais útil para encontrar a medida de um ângulo quando dados todos os comprimentos dos lados. Ela também é útil para encontrar um lado desconhecido quando dadas as medidas dos outros lados e de um ângulo.

Exemplo 1: como encontrar um ângulo

Vamos encontrar m, angle, B no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos cossenos:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Agora, podemos inserir os valores e resolver:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Ao calcularmos usando uma calculadora e arredondarmos:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Exemplo 2: como encontrar um lado desconhecido

Vamos encontrar A, B no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos cossenos:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Agora, podemos inserir os valores e resolver:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Problema 2.1
  • Atual
m, angle, A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Arredonde para o grau mais próximo.

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 3: problemas gerais de triângulos

Problema 3.1
  • Atual
"Falta só um." Renato dá o sinal ao seu irmão do seu esconderijo.
Matias concorda com a cabeça, avistando o último robô inimigo.
"34 graus." Matias sinaliza de volta, informando a Renato o ângulo que ele observou entre Renato e o robô.
Ryan registra esse valor no diagrama (mostrado abaixo) e faz um cálculo. Após calibrar seu canhão laser para a distância correta, ele se levanta, mira e atira.
Para que distância Renato calibrou seu canhão laser?
Não arredonde os valores para fazer os cálculos. Arredonde sua resposta final para o metro mais próximo.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

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