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Problema de trigonometria: estrelas

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre a distância entre as estrelas usando a lei dos cossenos. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - Carla quer saber a largura do Cinturão de Órion, que é um padrão estelar na constelação de Órion. Ela descobriu previamente as distâncias da casa dela até Alnitak, que é de 736 anos-luz, e Mintaka (915 anos-luz), que são os extremos do Cinturão de Órion. Ela também sabe que o ângulo entre essas estrelas no céu é de 3 graus. Qual é a largura do Cinturão de Órion? Ou seja, qual é a distância entre Alnitak e Mintaka? E a resposta tem que ser dada em anos-luz, para o ano-luz mais próximo. Então, digamos que este ponto aqui, que eu vou chamar de "casa", seja a casa da Carla. E digamos que este outro ponto aqui seja a estrela Alnitak. Alnitak, beleza? Além disso, este outro ponto aqui, assim, seja da estrela Mintaka. Aqui vai estar Mintaka. E o que nós sabemos do problema, aqui do enunciado, é o seguinte: nós sabemos que esta distância, de Alnitak até a casa da Carla, esta distância aqui, é de quanto? Ora, 736 anos-luz. Todas as medidas que eu colocar aqui nesse triângulo que vai ser formado vão estar em anos-luz. Nós sabemos também que a distância de Mintaka até a casa da Carla, essa distância que vai daqui até aqui, esta distância vai ser de 915 anos-luz. E o que eu estou querendo saber aqui? Estou querendo saber a distância entre estas duas estrelas, Alnitak e Mintaka. Esta distância que está em amarelo. E o que ele nos dá como dado para descobrir essa distância? Ele nos dá o ângulo formado entre estas duas estrelas no céu. Ou seja, quando a Carla olha para o céu, ela vê estas estrelas em um ângulo de 3 graus. Este ângulo aqui, portanto, mede 3 graus. E eu quero saber qual é esta distância, vou chamar isto de "x". Quanto vai ser o valor de "x"? Ora, para descobrir o valor de "x", já que eu tenho dois lados de um triângulo que foram dados e o ângulo entre esses dois lados também me foi dado, vou usar o quê? A lei dos cossenos. E o que é a lei dos cossenos? A lei dos cossenos me diz que c² é igual a a² + b², menos 2 vezes ab, vezes o cosseno de um ângulo θ. E aqui é o seguinte: qual vai ser o nosso "c"? O "c" é sempre o lado que está oposto ao ângulo que foi dado. Então, o lado oposto aqui vai ser "x". Portanto, escrevendo isso, a gente vai ter aqui: x² igual a a², o "a" pode ser qualquer um dos dois lados aqui, portanto, eu vou dizer que vai ser 736. Escrevendo isso na fórmula, 736². Mais o valor de "b" ao quadrado. E "b", aqui no caso, vai valer 915. 915². Menos 2 vezes ab, ou seja, 2 vezes o valor de "a", que é 736, vezes o valor de "b", que é 915. Tudo isso multiplicado, ainda, pelo cosseno do ângulo de 3 graus. Nosso ângulo θ vale 3. Então, cos 3 graus. E quanto vai dar isto aqui, então? É o seguinte, vou fazer um "Ctrl+C e Ctrl+V" para facilitar a minha vida, para não ter que escrever tudo de novo. Então, vou copiar aqui. Selecionei, "Ctrl+C", "Ctrl+V". Prontinho. Isto aqui, então, eu vou ter que o valor do "x" vai ser o quê? Vai ser a raiz quadrada disso tudo. Quando eu extrair a raiz quadrada em ambos os lados desta equação, eu vou ter que "x" vai ser a raiz quadrada disso aqui tudo. É ou não é? E, para resolver esta raiz quadrada aqui, eu vou usar a calculadora. Vamos lá, vou pegar a calculadora. Deixe-me ter certeza que esta calculadora está no modo de graus. Em graus, porque a gente está usando graus ali, em vez de radianos. Vamos calcular. Eu quero saber, então, qual é a raiz quadrada daquilo ali tudo. Então, raiz quadrada de 736², mais, ops, dividido não. Aqui eu quero "mais". Mais 915², menos 2 vezes 736 vezes 915, tudo isso, ainda, multiplicado pelo cosseno do ângulo de 3 graus. Então, cos(3). Vou botar aqui assim. Beleza. A gente merece aqui, agora, que rufem os tambores, pois vamos apertar o "Enter" e ver quanto isto vai dar. Olha aí. Resultado: 184. Como ele quer que a gente aproxime para o ano-luz mais próximo, está aqui: "arredonde sua resposta para o ano-luz mais próximo", então, isto vai dar 184 anos-luz aproximadamente. Ou seja, eu posso escrever aqui que o "x" vai ser, aproximadamente, 184 anos-luz. Certo? Esta é a resposta do nosso problema. E aí você percebe o seguinte: para calcular distâncias astronômicas no céu, a trigonometria é bastante útil. Beleza? Então é isso. Até os próximos vídeos!