Semelhança de triângulos e razões trigonométricas

RKA - Temos dois triângulos retângulos aqui, e sabemos que os dois têm um ângulo cuja medida é igual a "teta" (Θ). O ângulo A corresponde ao ângulo D. O que a gente sabe agora sobre esses dois triângulos? Se a gente conhece dois ângulos de um triângulo, vamos saber qual é o terceiro ângulo, porque a soma dos ângulos de um triângulo dá 180 graus. E se tem dois ângulos em comum, teremos três ângulos em comum. E se têm três ângulos em comum, estamos lidando com triângulos semelhantes. Deixa eu esclarecer! Este ângulo é Θ, este é 90, e os três juntos formam 180 graus. Este ângulo mais este ângulo somam 90. Este aqui já é 90, então os ângulos A e B são complementares. Este é 90 menos Θ. Dá para usar a mesma lógica aqui: este aqui mede 90 graus, sobram 90 graus entre Θ e este ângulo. Este ângulo vai medir 90 graus menos Θ. Tem três ângulos correspondentes que são congruentes. Portanto, são triângulos semelhantes. Por que é interessante? A geometria ensina que a proporção dos lados correspondentes de triângulos semelhantes vai ser sempre igual. Vamos explorar os lados correspondentes. O lado que se destaca quando lidamos com triângulos retângulos é a hipotenusa. Esta aqui é a hipotenusa, e esta hipotenusa corresponde a esta. Vou anotar. Esta é a hipotenusa deste triângulo, e esta é a hipotenusa deste triângulo. Este lado BC corresponde a qual? Olhando para este triângulo, vemos que é o lado oposto ao ângulo Θ. É o oposto. Atravessando o triângulo, chegamos lá. O lado oposto ao ângulo A é o BC; o lado oposto ao ângulo D é o EF, que corresponde a este lado. E o lado AC é o que falta! Dois lados formam este ângulo A. Um deles é a hipotenusa. Dá para chamar de lado adjacente a ela. D corresponde a A, então este vai ser o lado correspondente. Fiz isso para mostrar que a proporção entre lados correspondentes de triângulos semelhantes será sempre a mesma. Por exemplo, a proporção entre o lado BC e a hipotenusa BA... Vou escrever: "BC/BA = EF/ED". O comprimento do segmento EF sobre o comprimento do segmento ED... Ou, também dá para escrever que o comprimento do segmento AC sobre a hipotenusa deste triângulo, sobre AB, é igual a DF sobre DE. De novo, este lado verde sobre o lado laranja. São triângulos semelhantes que correspondem um ao outro. Isto é igual a DF sobre DE. Dá para continuar, mas eu vou fazer outro. Dá para falar que a proporção deste lado aqui, do lado azul para este lado verde deste triângulo, o comprimento de BC sobre CA, vai ser a mesma proporção entre estes dois lados correspondentes: o azul sobre o verde, EF sobre DF. E sabemos disso graças ao fato de eles serem triângulos semelhantes. Isso acontece com qualquer triângulo retângulo que tem um ângulo Θ: os dois triângulos serão semelhantes e todas as proporções serão as mesmas. Talvez, possamos dar nomes a essas proporções em relação ao ângulo Θ. Do ponto de vista do ângulo Θ... Vou escrever Θ aqui. Ou dá para guardar na cabeça qual é a proporção desses dois lados. Do ponto de vista de Θ, o lado azul é o lado oposto, é o lado oposto do triângulo retângulo. E o lado laranja, que já chamamos de hipotenusa, do ponto de vista de Θ, é o lado oposto sobre a hipotenusa. Estou repetindo do ponto de vista de Θ porque não seria o mesmo deste ângulo, o B. Do ponto de vista do ângulo B, esse é o lado adjacente sobre a hipotenusa. Vamos pensar nessa relação mais adiante. Agora, vamos ver do ponto de vista de Θ. Do ponto de vista de Θ, o que é isto? Θ está aqui. Claramente, AB e DE ainda são as hipotenusas. O que são AC e DF? São adjacentes a ela, são um dos lados que formam este ângulo, que não é a hipotenusa. A gente pode ver como a proporção nos dois triângulos entre o lado adjacente. De novo, é o oposto ao ângulo B. Nós só estamos pensando no ângulo A, no ângulo que mede Θ, ou no ângulo D. Em relação ao ângulo A, AC é adjacente; em relação ao ângulo D, DF é adjacente. Esta proporção aqui é o adjacente sobre a hipotenusa, e vai ser o mesmo para qualquer triângulo retângulo que tenha um ângulo Θ. Para terminar, isto aqui vai ser o lado oposto. Este é o lado oposto. Esta proporção, para os dois triângulos, vai ser o lado oposto sobre o lado adjacente. E vamos fazer muitos outros exemplos para assimilar! Mas em qualquer triângulo retângulo que tenha um ângulo Θ, a proporção entre seu lado oposto e sua hipotenusa será a mesma porque são triângulos semelhantes. A proporção entre o lado adjacente ao ângulo Θ e a hipotenusa vai ser a mesma em qualquer triângulo assim, desde que ele tenha um ângulo Θ. E a proporção em relação ao ângulo Θ entre o lado oposto e o lado adjacente, entre o lado azul e o verde, vai sempre ser a mesma. São triângulos semelhantes. Por causa disso, os matemáticos resolveram dar nome a essas coisas. Em relação ao ângulo Θ, esta razão vai sempre ser a mesma: o cateto oposto sobre a hipotenusa é chamado de "seno" do ângulo Θ. Vou mudar de cor... Por definição, e vamos expandir esta definição no futuro, este é o seno de Θ. Por definição, isto é o cosseno de Θ. Por definição, é a tangente de Θ. E uma mnemônica que ajuda a memorizar... E são apenas definições. Perceberam que, em triângulos semelhantes, para qualquer ângulo Θ, esta razão vai ser sempre a mesma. Para qualquer ângulo Θ, esta razão vai ser sempre a mesma, esta razão será sempre a mesma, então criaram essas definições. Para nos ajudar a lembrar, existe a mnemônica: "cohi cahi coca". "Cohi", "cahi", "coca". Vou anotar aqui. "Cohi" é: seno... Seno é igual ao cateto oposto, "co". ...sobre a hipotenusa, "hi": "Cohi", C-O-H-I. "Cahi", C-A-H-I. Cosseno é igual a cateto adjacente sobre hipotenusa. Finalmente, a tangente é o cateto oposto sobre o cateto adjacente, "coca". Em vídeos futuros, aplicaremos essas definições para funções trigonométricas.