Introdução aos triângulos retângulos especiais (parte 2)

RKA - Agora quero continuar com os triângulos 45-45-90. Na última apresentação, aprendemos que qualquer lado de um triângulo 45-45-90, que não é a hipotenusa, é igual a √2/2 vezes a hipotenusa. Vamos fazer mais alguns exemplos. Então, se eu dissesse que a hipotenusa deste triângulo, mais uma vez, isso só funciona para triângulos 45-45-90. Se eu desenhar só um como 45, você sabe que o outro ângulo tem que ser 45 também. Se eu te dissesse que a hipotenusa aqui é 10, sabemos que esta é a hipotenusa, porque fica oposta ao ângulo reto. E depois, se eu te perguntasse qual é a medida deste lado "x", sabemos que "x" é igual a √2/2 vezes a hipotenusa: √2/2 vezes 10 ou "x" é igual a 5√2. Certo? 10 dividido por 2, "x" é igual a 5√2. E sabemos que este lado e este lado são iguais. Acho que sabemos que isto é um triângulo isósceles porque estes dois ângulos são iguais e também sabemos que este lado é 5√2. E se você não tem certeza, tente, vamos usar o Teorema de Pitágoras, sabemos, do Teorema de Pitágoras, que (5√2)² mais (5√2)² é igual à hipotenusa ao quadrado, onde a hipotenusa é 10, é igual a 100. Ou isso é, simplesmente, 25 vezes 2, então, isso é 50, mais esses 100 em cima é igual a 100, e sabemos, é claro, que isso é verdade, então funcionou. Provamos isso usando o Teorema de Pitágoras, e isso é realmente como desenvolvemos essa fórmula. Talvez queira voltar para alguma daquelas apresentações, se você se esquecer de como chegamos a essa conclusão. Na verdade, agora vou introduzir outro tipo de triângulo, vou fazer isso da mesma forma ao apresentar um problema e depois usar o Teorema de Pitágoras para resolvê-lo. Este é outro tipo de triângulo chamado triângulo 30-60-90. Se não tiver tempo para isso, eu vou fazer outra apresentação, tá bom? Vamos dizer que eu tenho um triângulo retângulo. Este não é bonito, mas a gente usa o que tem. Este é um ângulo reto. E se eu dissesse que este é um ângulo de 30°? Sabemos que os ângulos em um triângulo têm que somar 180. Se este é 30, este é 90 e vamos dizer que este é "x", "x" mais 30, mais 90 é igual a 180, porque os ângulos em um triângulo somam 180. Sabemos que "x" é igual a 60, certo? Então, este ângulo é 60. E é por isso que ele é chamado de triângulo 30-60-90, porque estas são as medidas dos três ângulos do triângulo. E se eu dissesse que a hipotenusa é, em vez de chamá-la de "c", como sempre fazemos, vamos chamar de "h", e quero descobrir os outros lados, como fazemos? Bom, podemos usar, como sempre, o Teorema de Pitágoras e aqui eu vou fazer um pequeno truque: vamos desenhar uma cópia deste triângulo, mas virada, e desenhar do outro lado. E este é o mesmo triângulo, mas olhando para outra direção. Se este é o ângulo de 90° sabemos que estes dois ângulos são suplementares. Talvez, você queira rever o módulo de ângulo, se esqueceu que dois ângulos que compartilham uma reta comum somam 180°. Então, este é 90° graus e este também será 90°, é só bater o olho, faz sentido. E já que viramos, este triângulo é exatamente o mesmo que este, só que está virado para o outro lado. E, também sabemos que este ângulo é de 30° e este ângulo é de 60°, certo? Bom, este ângulo é de 30° e este é de 30°. Também sabemos que este ângulo maior, que vai todo o espaço daqui até aqui, é 60°, certo? Se este ângulo é de 60°, este ângulo de cima é 60°. E este ângulo na direita é 60°, e depois sabemos, pelo teorema, que a gente aprendeu quando fizemos triângulos 45-45-90, que se estes dois triângulos são o mesmo, então os lados que eles compartilham têm que ser iguais também. Quais são os lados que eles não compartilham? Bom, este lado e este lado; se este lado é "h", este lado é "h", certo? Mas, este ângulo também é de 60°. Se a gente olhar este de 60° e este de 60°, sabemos que os lados que eles não compartilham também são iguais. Eles compartilham este lado, então os lados que eles não compartilham são este lado e este lado. Então, este lado é "h" e sabemos que este lado também é "h". Isso mostra que se você tem 60°, 60° e 60°, e que todos têm o mesmo tamanho, ou é um triângulo equilátero, e isso é uma coisa para se manter em mente, também faz sentido, porque um triângulo equilátero é simétrico, não importa como você olha para ele. Então, faz sentido que todos os ângulos são o mesmo e todos os lados têm o mesmo comprimento, mas quando fizemos esse problema, originalmente, só usamos metade do triângulo equilátero. A gente sabe que este lado inteiro aqui tem o comprimento de "h", mas se todo este lado mede "h", então, este lado aqui, a base do nosso triângulo original, eu estou tentando ser bagunçado de propósito, vamos tentar outra cor. Este será metade daquele lado, certo? Porque aquele é h/2 e este também é h/2, bem aqui. Se a gente voltar para o nosso triângulo original e dissermos que este é 30° e esta é a hipotenusa, porque fica oposto ao ângulo reto, sabemos que o lado oposto ao ângulo de 30° é metade da hipotenusa. E só para lembrar, como fizemos isso? Dobramos o triângulo, transformamos em um triângulo equilátero, descobrimos que este lado inteiro tem que ser o mesmo que é a hipotenusa e este é metade daquele lado inteiro. Então, é metade da hipotenusa. Vamos lembrar: o lado oposto ao lado de 30° é metade da hipotenusa. Vou desenhar em outra página, porque está ficando muito bagunçado. Então, voltando para o que eu tinha originalmente. Este é um ângulo reto. Esta é a hipotenusa, neste lado aqui. Se este é 30°, descobrimos que o lado oposto aos 30° é para onde o ângulo está abrindo, que isto é igual à metade da hipotenusa. Se isto é metade da hipotenusa, então este lado é igual a quanto? Aqui, podemos usar o Teorema de Pitágoras de novo: sabemos que este lado ao quadrado mais este lado ao quadrado, vamos chamar este lado de "a", é igual a h². Então, temos que (1/2h)² mais a² é igual a h². E isto é igual a h²/4 mais a², que é igual a h². Subtraímos h² dos dois lados, temos que a² é igual a h² menos h²/4. Então, isto é igual a h²/4 vezes (1 - 1/4). E isso é igual a 3/4h². E, mais uma vez, isso é igual a a². Estou ficando sem espaço, então vou até aqui. Tire a raiz quadrada dos dois lados e temos que "a" é igual a √3/4, que é o mesmo que √3/2. E depois, a √h² é, simplesmente, "h". E este "a", lembre-se, isso não é uma área, mas é o que representa o comprimento do lado, provavelmente não deveria der usado... Bom, mas isso é igual a √3/2 vezes "h". Então, está aí! Descobrimos que todos os lados relacionados à hipotenusa são de um triângulo 30-60-90. Se este é o lado de 60°, se sabemos a hipotenusa e sabemos que este é um triângulo 30-60-90, a gente sabe que o lado oposto ao ângulo de 30° é metade da hipotenusa. E, também que o lado oposto ao lado de 60° é a √3/2 vezes a hipotenusa. No próximo módulo, vou mostrar como é usada essa informação que vocês podem ou não querer memorizar. É bom memorizar e praticar com isso, porque vai deixá-los rápidos em testes padrão. Como podemos usar essa informação para descobrir os lados de um triângulo 30-60-90 bem rapidinho. Vejo vocês na próxima apresentação.