Fórmula da combinação

RKA8JV Na primeira vez que você é exposto à análise combinatória, toda essa fórmula de fatorial, combinação, permutação, leva um certo tempo para o seu cérebro se adaptar a tudo isso. Então, acho que não dói fazer o máximo de exemplos possível para a gente aprender melhor sobre tudo isso que envolve a combinação, análise combinatória. E aí é o seguinte, para cada exemplo que eu fizer aqui, eu vou fazer uma certa revisão do que nós já vimos, e espero avançar um pouquinho mais, para a gente aprender ainda mais coisas sobre fatorial. Vamos lá, vamos começar aqui. Eu espero, nos próximos vídeos, conseguir dar exemplos diferentes de pessoas sentadas em cadeiras, mas, este aqui vamos começar assim, com o exemplo das cadeiras. Então, digamos que nós tenhamos aqui 6 pessoas, a pessoa "A", pessoa "B", "C", "D", "E" e "F". E nós queremos colocar essas 6 pessoas ali em 4 cadeiras, então, 1, 2, 3, 4 cadeiras. E aí, você vai se perguntar: "de quantas maneiras eu consigo colocar 6 pessoas sentadas nestas 4 cadeiras aqui?" Número de permutações. Bom, eu tenho 6 possibilidades para colocar nesta primeira cadeira aqui, e para cada uma dessas 6 possibilidades, eu tenho 5 para colocar na segunda cadeira. Para cada uma dessas 30 possibilidades aqui, 6 vezes 5 dá 30, eu vou ter 4 para colocar na terceira cadeira e assim, novamente, 30 vezes 4, 120, para cada uma dessas 120 possibilidades, eu vou ter 3 para colocar na quarta cadeira aqui. Este número aqui, 6 vezes 5, vezes 4, vezes 3, é o número de permutações que eu posso colocar 6 pessoas sentadas em 4 cadeiras. Nós vimos em vídeos anteriores, quando nós falamos sobre fórmula da permutação, por exemplo, que nós podemos escrever isto aqui em termos de fatorial. Então, como é que eu posso colocar isto aqui na forma fatorial? Bom, isto aqui vai ser a mesma coisa que 6!, que, por sua vez, aqui, vou deixar um certo espaço porque eu ainda vou preencher melhor esta fórmula, isto vai ser 6!, 6 vezes 5, vezes 4, vezes 3, vezes 2, vezes 1. Como você pode ver aqui, nós não temos o "2 vezes 1", então, nós queremos nos livrar daquele "2 vezes 1" ali. Como é que eu faço isso? Ora, dividindo por "2 vezes 1". Então, vou dividir em ambos os lados por "2 vezes 1". Só que aí você percebe o seguinte, o que é "2 vezes 1"? Nada mais é que 2 fatorial, sim ou não? E como a gente consegue nos livrar deste 2 fatorial aqui? Bom, "2!" vai ser a mesma coisa que "6!" - "4!", já que são 4 cadeiras aqui, 6 menos 4 fatorial, isto vai me dar "2!". Olha aí. Portanto, eu posso dividir estes números aqui por 6 menos 4, certo? (6 - 4)!. Portanto, vai ficar desta forma aqui, 6 - 4 vai me dar 2, então, 2!, 6!/2!. Aqui eu vou dividir então por 2!, que é a mesma coisa que 2 vezes 1, e vou poder simplificar este "2 vezes 1" com este "2 vezes 1" aqui de baixo. Tudo isto aqui que eu fiz nada mais é que uma grande revisão da fórmula da permutação. Se você não se lembra da fórmula da permutação, eu te relembro, olha só. Então, eu quero permutação de "n" elementos tomados aqui "k" a "k", então "n" elementos colocados em "k" lugares por exemplo. Isto é a mesma coisa que n!/(n - k)!, desta forma aqui. E foi exatamente isto que nós fizemos aqui. Neste caso, o "n" vale 6, então, aqui no lugar do "n", eu vou colocar na mesma cor, só para você poder visualizar melhor. O "n" vale 6 e "k" vale 4, portanto, eu posso pegar este "k" aqui, neste caso, só para colocar na mesma cor, deixá-lo verde aqui. Portanto, tudo isto aqui é uma revisão, e agora nós vamos entrar no mundo das combinações. No mundo das combinações funciona da seguinte maneira: neste mundo aqui das permutações, na permutação nós estamos preocupados em quem senta em qual cadeira, ou seja, a ordem importa, ou seja, isto aqui, se eu colocar a pessoa sentada desta maneira aqui, "ABCD", e colocar uma pessoa, sei lá, sentada desta maneira aqui, "DBAC" por exemplo, isto aqui são duas diferentes permutações. Então, só para a gente saber o resultado disso aqui de cima, quanto que dá aquilo ali? 6 vezes 5, 30, vezes 4, 120, vezes 3, dá 360. Aqui, como você pode perceber, isto aqui é uma permutação, isto aqui é outra permutação, e se nós seguirmos fazendo isso, nós vamos chegar as 360 permutações diferentes. Já no mundo das combinações, deixa eu colocar aqui, "C" de combinações, eu quero pegar aqui "n" elementos tomados "k" a "k". Então, no mundo das combinações isto daqui, esta disposição e esta disposição são a mesma coisa, a ordem não importa. Então, o que nós queremos fazer aqui é pegar o número de permutações, qual é o número de permutações ali? Ora, é n!/(n - k)!. Deixe-me colocar aqui assim, né, (n - k)! E fazer o que este número? Dividir pelo número de jeitos que eu posso arranjar aqui, 4 coisas. E aí é o seguinte, demorei um pouquinho, meu cérebro demorou para poder processar estas informações aqui, então, se você demorar não tem problema, tá? Mas como estas disposições aqui, para a combinação são a mesma coisa, então, eu preciso sim, dividir pelo número de jeitos diferentes que eu posso reorganizar todas estas pessoas aqui nestas 4 cadeiras, está claro? Já que na permutação, isto aqui eu conto como diferentes coisas, na combinação não conta como diferente, então, eu quero me livrar de coisas repetidas nas combinações, está claro? Logo, eu vou efetuar uma divisão do número de maneiras que eu posso organizar 4 coisas aqui. Neste nosso caso aqui, o nosso 4 é o "k", certo? Então, deixe-me escrever isso daqui, né. O número de maneiras para arrumar "k" coisas em "k" lugares. Então, eu quero dividir por isto aqui, eu te encorajo a pausar o vídeo e tentar, você, pensar sobre quantas são essas maneiras aqui, pois isso nada mais é que uma revisão das permutações que nós vimos em vídeos anteriores. E aí é o seguinte, se você tem "k" lugares aqui, deixe-me colocar aqui, primeiro lugar, segundo, terceiro, e aí a gente segue indeterminadamente até o lugar "k". Aí é o seguinte, neste primeiro lugar, como eu tenho "k" coisas para arrumar aqui, eu posso colocar "k" coisas neste primeiro lugar. Para cada uma dessas "k" coisas, como eu já coloquei aqui uma, eu vou ter o que? (k - 1) para colocar aqui. Aí eu vou multiplicando, né, multiplico agora aqui por "k - 2", certo? E isto segue indeterminadamente até o lugar "k" né, o "kaésimo" lugar, que vai ser, então, vou ter apenas uma única possibilidade para colocar aqui neste "k" lugar. Agora pense comigo, o que é isto aqui? Se eu multiplicar o ''k" por (k - 1) vezes (k - 2) vezes (k - 3), e assim por diante até chegar no 1, isto aqui nada mais é, concorda comigo, que o "k!". Então o número de maneiras para arrumar "k" coisas em "k" lugares é "k!", logo, o número de maneiras para arrumar 4 coisas em 4 lugares é "4!". E assim segue, o número de maneiras que eu posso arrumar 3 coisas em 3 lugares, "3!". E aí, eu posso dividir, então, isto aqui por "k!", certo? Para poder me livrar dessas repetições. Portanto, isto aqui vai ser igual a quanto agora? Olha só, isto aqui vai ser igual, então, a "n!" dividido por "k!", então, vamos colocar aqui, "k!", e que multiplica por (n - k)!. Eu vou colocar o "k" ali em verde né. Então, vai ficar assim. Agora, nós temos, então, a fórmula para a combinação. A fórmula da combinação vai ser isto aqui, pois nós deduzimos desta maneira. Algumas vezes, isto aqui também é chamado de coeficiente binomial, e aí, nós podemos escrever isto aqui assim: "n" coisas em "k" lugares, desta maneira aqui. Agora, tudo que eu fiz aqui ficou meio abstrato, então, vamos retornar lá para aquele nosso exemplo, que nós estamos colocando 6 pessoas em 4 cadeiras. Então, digamos que neste caso eu não estou interessado em saber qual pessoa senta em qual cadeira, eu apenas quero saber de quantas maneiras eu posso escolher 4 pessoas de um grupo de 6, e portanto, o que eu quero calcular ali é o número de combinações possíveis para eu poder escolher, entre aquelas 6 pessoas ali, 4 pessoas. Então, número de combinações para escolher 4 pessoas em um grupo de 6, é isso que eu estou fazendo. Eu posso escrever isto aqui também, da seguinte maneira: o número de de pessoas aqui, no caso, 6 pessoas, e eu preciso escolher entre aquelas 6 pessoas ali, 4. Então, eu vou ter o número de combinações de 6 pessoas tomadas 4 a 4. E aqui nós vamos resolver da seguinte maneira: primeiro eu vou aplicar a fórmula, depois eu vou aplicar raciocínio lógico, porque eu não gosto muito de ficar decorando fórmula, eu gosto de deduzi-las, eu gosto de pensar sobre o problema, pois imagina se eu memorizo e esqueço? Eu prefiro não, eu prefiro sempre poder raciocinar sobre as fórmulas e poder deduzi-las, então, eu gosto de pensar sobre o problema, beleza? Mas vamos lá, a gente aplica a fórmula também, é só porque eu acho que memorizar não é uma boa maneira de a gente aprender de fato como funcionam as coisas. Mas, se eu apenas aplicar a fórmula aqui, eu vou ter o seguinte: eu vou ter "6!" sobre "4!", multiplicado por (n - 4), "n", no caso ali é 6 né, então (6 -4)!, deixe-me colocar o 4 ali dentro, então eu terei isto aqui. Isto aqui, então, vai dar igual a quanto? Ora, vai dar igual a "6!", certo? E aqui no denominador eu vou ter "4!", então, "4!" aqui, e essa outra partezinha aqui, (6 - 4)!, isto vai dar 2 né, "6 - 4" dá 2, então, eu vou ter aqui "2!". Isto aqui vai ser igual a quanto agora? Vamos escrever ali essas multiplicações todas né, vamos lá. "6!" é 6 vezes 5, vezes 4, vezes 3, vezes 2, vezes1, dividido por "4!". O que é o "4!"? É 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1, vezes, ainda, o "2!". O que é o "2!" ali? "2!" é 2 vezes 1. E aqui agora eu posso fazer da seguinte maneira: este "2 vezes 1" eu posso simplificar com este "2 vezes 1". Este 1 aqui, na multiplicação, não vai alterar o valor, aí é o seguinte, este 3 eu simplifico com este 3, este 4 eu simplifico com este 4, e vai me sobrar o que? 6/2 aqui, que vai dar 3. E o que nos sobra aqui de conta é 3 vezes 5, simplesmente. Quanto é 3 vezes 5? 15. 15, então, vai ser este número de combinações. Agora, vamos comparar. Há 360 maneiras diferentes de colocar 6 pessoas sentadas em 4 cadeiras, porém, há apenas 15 combinações diferentes para eu poder escolher 4 pessoas de um grupo de 6, olha aí. Porque eu não estou considerando mais a ordem aqui, ou seja, para mim, "ABCD" é a mesma coisa que "DBAC", que é a mesma coisa que "ABDC", enfim, tanto faz, a ordem é aqui não importa. E aí, então, penso assim: já que estas permutações são iguais, eu preciso me livrar delas, para saber as combinações. E aí, como é que eu me livro disto aqui? Dividindo então por "4!", que foi o que eu fiz aqui, "4!". Quando eu divido por "4!", é 4 vezes 3, vezes 2, vezes1, isto vai me dar 24, e aí eu faço 360/24. Aí você pode fazer a conta, 360/24 vai dar exatamente igual a 15. Agora vamos analisar aqui, finalmente, esta fórmula da combinação. Isto aqui, nada mais é que a fórmula da permutação, certo? Esta fórmula aqui de cima. E aí, o que nós fizemos de diferente foi dividir por "4!" para poder nos livrarmos dessas permutações aqui, que para a combinação, no final, é exatamente a mesma coisa. Até o próximo vídeo!