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Curso: Matemática EM: Probabilidade > Unidade 1
Lição 4: PermutaçãoPermutação
O foco deste artigo é deixar claro ao estudante que a principal característica de uma permutação envolve a determinação de uma coleção de elementos onde a ordem é importante (elementos ordenáveis).
Neste artigo, vamos explorar os conceitos de arranjo e permutação, o que significa estudar as possibilidades de organização de um grupo de elementos quando a ordem deles importa.
Ao falar em ordenar elementos, pode-se usar como recurso uma fila. Por exemplo, tendo frutas disponíveis, é possível escolher delas para formar uma fila ordenada sobre uma mesa. Nas imagens abaixo, é possível identificar a , que é composta pela seguinte ordem: maçã, pera, limão, laranja e abacaxi. Observe que a conta com uma ordem diferente da , que é composta por: maçã, pera, limão, abacaxi e laranja. Mesmo sendo as mesmas frutas, a ordem delas foi alterada, então diremos aqui que as filas formadas são diferentes.
Neste caso, a ordem de colocação das frutas vai influenciar na fila que será montada ao final. Isso é diferente de colocarmos frutas em uma cesta, em que a ordem não vai importar.
As diferentes filas obtidas constituem os diferentes arranjos possíveis. Quantas filas podemos montar? Para responder a essa pergunta, é necessário entender que cada uma das posições na fila se refere a uma tomada de decisão, que dependerá do número de elementos que temos disponíveis.
Note que, para compor a fila com frutas, seguimos os seguintes passos:
1) escolher a primeira fruta da fila;
2) escolher a segunda fruta da fila;
3) escolher a terceira fruta da fila;
4) escolher a quarta fruta da fila;
5) escolher a quinta fruta da fila.
É possível visualizar as etapas e possibilidades de escolha em um esquema, conforme abaixo:
Conforme as frutas são selecionadas, as opções são reduzidas. Na primeira escolha, há opções, enquanto na segunda, dado que já foi retirada uma fruta do agrupamento inicial, a decisão está restrita a frutas, e assim sucessivamente, conforme as frutas são escolhidas. Utilizando o esquema elaborado anteriormente, temos:
Aqui, pode-se questionar também: O que aconteceria se houvesse apenas frutas? Nesse caso, a ordem a ser definida ficaria limitada à determinação de primeira, segunda, terceira, quarta e quinta frutas. Esse é um caso especial chamado permutação – que é um caso de arranjo em que o número dos elementos do grupo é igual ao número de posições disponíveis na nossa fila. O esquema a seguir exemplifica a resolução desse outro problema.
Note que o produto utilizado na permutação mostrada anteriormente iniciou no valor e foi diminuindo os demais fatores até que sobrasse apenas fruta para ser escolhida na última decisão. Com isso, será introduzido o conceito de fatorial, ou seja, o produto que se inicia em um número e vai diminuindo uma unidade de cada fator até chegar no fator .
Chamamos de fatorial do número e indicamos por (lê-se " fatorial") a multiplicação de por todos os seus antecessores até chegar em .
Arranjos e permutações são ótimos aliados na resolução de problemas que envolvem contar quantas maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito de objetos.
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