Permutação

Neste artigo, vamos explorar os conceitos de arranjo e permutação, o que significa estudar as possibilidades de organização de um grupo de elementos quando a ordem deles importa.

Ao falar em ordenar elementos, pode-se usar como recurso uma fila. Por exemplo, tendo $10$10 frutas disponíveis, é possível escolher $5$5 delas para formar uma fila ordenada sobre uma mesa. Nas imagens abaixo, é possível identificar a $\text{Fila 1}$start text, F, i, l, a, space, 1, end text, que é composta pela seguinte ordem: maçã, pera, limão, laranja e abacaxi. Observe que a $\text{Fila 1}$start text, F, i, l, a, space, 1, end text conta com uma ordem diferente da $\text{Fila 2}$start text, F, i, l, a, space, 2, end text, que é composta por: maçã, pera, limão, abacaxi e laranja. Mesmo sendo as mesmas frutas, a ordem delas foi alterada, então diremos aqui que as filas formadas são diferentes.

Neste caso, a ordem de colocação das frutas vai influenciar na fila que será montada ao final. Isso é diferente de colocarmos $5$5 frutas em uma cesta, em que a ordem não vai importar.

As diferentes filas obtidas constituem os diferentes arranjos possíveis. Quantas filas podemos montar? Para responder a essa pergunta, é necessário entender que cada uma das posições na fila se refere a uma tomada de decisão, que dependerá do número de elementos que temos disponíveis.

Note que, para compor a fila com $5$5 frutas, seguimos os seguintes passos:

1) escolher a primeira fruta da fila;

2) escolher a segunda fruta da fila;

3) escolher a terceira fruta da fila;

4) escolher a quarta fruta da fila;

5) escolher a quinta fruta da fila.

É possível visualizar as etapas e possibilidades de escolha em um esquema, conforme abaixo:

Conforme as frutas são selecionadas, as opções são reduzidas. Na primeira escolha, há $10$10 opções, enquanto na segunda, dado que já foi retirada uma fruta do agrupamento inicial, a decisão está restrita a $9$9 frutas, e assim sucessivamente, conforme as frutas são escolhidas. Utilizando o esquema elaborado anteriormente, temos:

Aqui, pode-se questionar também: O que aconteceria se houvesse apenas $5$5 frutas? Nesse caso, a ordem a ser definida ficaria limitada à determinação de primeira, segunda, terceira, quarta e quinta frutas. Esse é um caso especial chamado permutação – que é um caso de arranjo em que o número dos elementos do grupo é igual ao número de posições disponíveis na nossa fila. O esquema a seguir exemplifica a resolução desse outro problema.

Note que o produto utilizado na permutação mostrada anteriormente iniciou no valor $5$5 e foi diminuindo os demais fatores até que sobrasse apenas $1$1 fruta para ser escolhida na última decisão. Com isso, será introduzido o conceito de fatorial, ou seja, o produto que se inicia em um número $\text{n}$start text, n, end text e vai diminuindo uma unidade de cada fator até chegar no fator $1$1.

Chamamos de fatorial do número $\text{n}$start text, n, end text e indicamos por $\text{n!}$start text, n, !, end text (lê-se "$\text{n}$start text, n, end text fatorial") a multiplicação de $\text{n}$start text, n, end text por todos os seus antecessores até chegar em $1$1.

Arranjos e permutações são ótimos aliados na resolução de problemas que envolvem contar quantas maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito de objetos.