Fórmula da permutação

RKA8JV Nós sabemos que se tivermos 5 pessoas, pessoa "A", pessoa "B", pessoa "C", pessoa "D", pessoa "E", e quisermos colocar estas 5 pessoas em 5 lugares, 5 cadeiras por exemplo, digamos 1, 2, 3, 4, 5, e então nós quisermos calcular a quantidade de cenários diferentes, que é possível, colocar estas 5 pessoas arrumadas aqui nestas 5 cadeiras, eu posso dizer que 5 pessoas podem sentar na cadeira número 1, eu tenho 5 possibilidades aqui, e aí, para cada um destes cenários aqui, eu tenho 5 pessoas na primeira cadeira, eu vou ter 4 para sentar na segunda, cada um destes cenários aqui, então, vai ter 3 para sentar na terceira, E aí, se você pensar bem, nós temos 5 vezes 4, que é 20, então, são 20 cenários diferentes para a cadeira número 1 e número 2. Agora, se contarmos com a terceira também, 5 vezes 4 vezes 3, são 60 cenários diferentes. E agora? Quantas pessoas eu tenho aqui para colocar no lugar 4? Ora, 2 pessoas não sentaram ainda. E agora? Para cada um destes cenários aqui que eu coloquei, quantas são as possibilidades para colocar uma pessoa na quinta cadeira? Ora, apenas uma não sentou ainda, e então o número de permutações, deixe-me escrever aqui, permutações, para colocar aquelas 5 pessoas nestas 5 cadeiras vai ser quanto? Ora, 5 fatorial (5!). E "5!" é o quê? Nada mais é que 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. Isto aqui no final das contas vai dar quanto? 5 vezes 4, 20, vezes 3, 60, vezes 2, 120. Agora vamos fazer um negócio aqui mais interessante, ou talvez você considere até menos interessante, quem sabe. Nós vamos pegar estas 5 pessoas aqui e vamos dizer que nós temos ainda as 5 pessoas, mas nós não temos tantas cadeiras assim. Dessa forma, nem todo mundo vai se sentar, então, digamos, neste caso aqui, que eu tenha 3 cadeiras. Então, vou botar aqui, cadeira número 1, cadeira número 2, cadeira número 3. E agora? Quantas são as possibilidades de eu arrumar 5 pessoas nestas 3 cadeiras aqui? Eu te encorajo a pausar o vídeo e você pensar um pouquinho sobre isso. Vamos lá. Ora, eu vou usar o mesmo raciocínio que eu usei aqui em cima. Eu estou me importando com a ordem que as pessoas vão sentar, então, quantas possibilidades diferentes eu tenho para uma pessoa sentar na primeira cadeira? Ora, 5, certo? 5 pessoas diferentes, então, eu posso colocar 5 pessoas aqui no primeiro assento. Agora, uma pessoa já sentou aqui com certeza, então, quantas me sobraram para colocar no segundo assento? Me sobraram 4. Ou seja, para cada um deste cenário, que uma pessoa sentou na cadeira número 1, me sobraram 4 para colocar na cadeira número 2. Aqui, nós temos 20 cenários em que a pessoa senta na cadeira número 1 e uma outra pessoa senta na cadeira número 2. E para cada um desses 20 cenários aqui, eu vou ter 3 pessoas sobrando que eu posso colocar aqui na cadeira número 3, então 3 possibilidades aqui. E aí, eu posso dizer, então, que isto aqui vai ser igual a 5 vezes 4 vezes 3, que claro, é igual a quanto? É igual a 60. Então, são 60 permutações neste caso aqui para colocar 5 pessoas em 3 cadeiras. E aí na minha cabeça, pelo menos o meu cérebro pensa assim né, quando eu falo de permutações, combinações, eu gosto de pegar e desenhar e mandar brasa, pensar neste sentido aqui, porque eu não gosto de decorar muito as fórmulas. Então, eu gosto de deduzir as coisas, e dessa forma consigo perfeitamente visualizar o que estou fazendo. Mas aí vem uma pergunta que faz todo sentido, aqui eu usei o fatorial, 5!, para arrumar 5 pessoas em 5 cadeiras diferentes. Como eu posso relacionar agora, o fatorial nesta operação aqui de baixo? Como você pode notar, a gente até esboçou a fazer este fatorial, só que nós paramos em um momento aqui, nós não fomos até o final, ou seja, nós não fizemos o "vezes 2, vezes 1", que fizemos aqui em cima né? Então, uma maneira de pensar sobre isto aqui é que nós coloquemos o fatorial aqui em cima, 5 vezes 4, vezes 3, vezes 2, vezes 1. Só que nós não fizemos o "2 vezes 1", logo, o que eu vou fazer aqui vai ser dividir essa conta ali, por 2 vezes 1. E aí fazendo isto, eu vou simplificar este "2 vezes 1" daqui com este "2 vezes 1" daqui, certo? E o que vai me sobrar vai ser exatamente o que fiz aqui, 5 vezes 4, vezes 3. A razão pela qual eu fiz isto daqui é que agora eu posso escrever em termos de fatorial, olha só. Em cima eu vou ter 5!, e embaixo eu vou ter 2!, então, 5!/2!. Mas aí você vai fazer uma pergunta que faz todo sentido também, nós temos 3 cadeiras aqui, de onde saiu este 2!, não é? E aí, uma maneira de pensar sobre isto daqui é o seguinte: você fez 5 vezes 4, vezes 3, e nós não continuamos a partir deste ponto, nós não fizemos aqui o que restou, certo? E aí, o que nós não fizemos aqui, o que nós não consideramos na conta, foi esta parte aqui, que é exatamente o número de pessoas menos o número de cadeiras, 5 - 3. É ou não é? E aí então, eu posso reescrever tudo que eu fiz aqui da seguinte maneira: eu posso colocar 5! sobre (5 - 3)!, desta maneira aqui, que vai me dar este 2! aqui do denominador. Então, se você quiser saber, de maneira generalizada, a fórmula do número de permutações, onde eu posso colocar "n" pessoas em "r" cadeiras neste caso, e tem várias notações para isso, no Brasil a que a gente usa é mais ou menos esta aqui, número de permutações para "n" pessoas em "r" cadeiras, a gente usa mais esta, tá? Então, isto daqui vai ser igual a quanto? Ora, isto vai ser igual a n!/(n - r)!. Neste nosso exemplo aqui, o "n" era igual a 5, 5 pessoas, e o "r" era igual a 3 aqui neste caso, né? E aí quando você vê isto daqui, e você vê muito isso nas aulas de probabilidade, de análise combinatória, você pode achar esta forma assustadora. Só que a razão toda pela qual eu fiz esta dedução aqui é para você não se sentir tão assustado com esse tipo de fórmula. E aí agora você entende que esta fórmula aqui não surge do nada, ela não é um tipo de vodu ou de mágica, mas, falando por mim, eu nunca uso esta fórmula aqui, jamais uso, eu prefiro deduzir, eu prefiro pensar sobre o problema, desenhar uma de maneira assim, para deduzir essa fórmula exatamente como eu fiz aqui. Eu não gosto de ficar nessa parte mecânica, de ficar decorando as coisas, o que é "n", o que é "r", eu prefiro pensar sobre o problema. E quando a gente pensa desta maneira aqui, para chegar até a fórmula, a gente percebe que é muito lógico, não é tão complicado assim, é só pensar um pouquinho, né? Uma das razões pela qual não gosto de decorar fórmula é porque nem sempre fica claro quando usar a fórmula, ou de que maneira usar a fórmula. Por exemplo, se eu tivesse nesta situação aqui, 5 pessoas para 3 cadeiras, só que a pessoa B, digamos, gosta de sentar na cadeira 2. E aí, como é que eu faço? Neste caso, a fórmula aqui será inútil, você tem que pensar sobre o problema. Mas, de qualquer maneira, eu te mostrei a fórmula, que você provavelmente vai ver no seu livro ou na sua aula. Até o próximo vídeo!