Exatamente três caras em cinco arremessos de moeda

RKA10E Vamos novamente começar nosso vídeo jogando uma moeda honesta. Moeda... honesta. Mas desta vez, ao invés de lançar 4 vezes, vamos fazer 5 lançamentos. 5... lançamentos. Como todo vídeo de moeda, a gente vai chamar "k" de cara e "c" de coroa, ok? E o que quero pensar neste vídeo é sobre a probabilidade de conseguir exatamente... exatamente 3 caras. E a melhor maneira de começar a pensar é contando todas as possibilidades equiprováveis que existem. Então se eu fizer meu primeiro lançamento, vou ter 2 possibilidades para ele, pode ser cara ou coroa. Para o segundo lançamento, também há 2 possibilidades, para o terceiro, 2 possibilidades, para o quarto, 2 possibilidades e para o quinto, 2 possibilidades. Então tenho 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, ou seja, 2 vezes 2 dá 4, 4 vezes 2 dá 8, 8 vezes 2 dá 16, 16 vezes 2 dá 32 possibilidades equiprováveis, ok? Equiprovável é que tem a mesma probabilidade de acontecer. E agora basta ver quantas dessas 32 possibilidades têm exatamente 3 caras. Eu poderia muito bem listar todas essas 32 e contar quantas são as que têm exatamente 3 caras, o que daria certo, sem problema nenhum. Mas vou tentar usar aquela técnica que a gente começou a ver no vídeo passado. A gente vai fazer 5 lançamentos, deixe-me desenhar os lançamentos: 1, 2, 3, 4, 5 lançamentos. E nesses 5 lançamentos vou querer 3 caras, deixe-me desenhar aqui. Então vou ter a "Kₐ", a "Kь" e a "Kc", só para dar nomes, até porque a gente vai ver neste vídeo mesmo que não quero diferenciar essas coisas. Por exemplo, se eu tiver os lançamentos nesta ordem: "Ka", "Kb", "Kc", "c", "c" e, então, "kc", "ka", "kb", "c", "c", a gente não pode considerar isso como 2 coisas diferentes. Para mim, esta organização tem que ser igual à organização de baixo. Primeiro, a gente vai contar como se eu me importasse com a ordem que "a", "b" e "c" estariam e depois a gente vai dividir pelo número de vezes que eles podem trocar de lugar entre eles, pelo número de permutações que esses 3 objetos fazem. Vamos contar de quantas maneiras eu consigo distribuir essas 3 caras nestes 5 espacinhos que estou representando os meus lançamentos. Se esses 5 espacinhos estão vazios, então a nossa "Ka" poderia estar em qualquer um desses 5 espaços. Portanto, eu tenho 5 possibilidades de espacinhos para colocar minha "Ka". Vamos supor que "Ka" preencheu este espacinho. Para a minha "Kb", então, me sobram 1, 2, 3, 4 espaços, 4 possibilidades de escolha. Para a "Kb" são 4 possibilidades. Ela poderia ficar em qualquer um desses espacinhos, mas vamos imaginar que ela veio sentar justamente aqui. E agora que essas 2 caras ocuparam 2 espacinhos, me sobraram 3 espaços apenas para minha "Kc". Digamos que ela ocupou esse espacinho aqui, "Kc". Levando em consideração a ordem, de quantas maneiras a gente consegue colocar 3 caras em 5 desses espaços? A gente pode dizer que vai ser 5 vezes 4 vezes 3, 5 vezes 4 é 20 que, vezes 3, vão ser 60 as maneiras que a gente pode fazer essa distribuição, se levarmos em consideração a ordem, é claro. Mas é óbvio que não são 60 as coisas que quero contar, afinal são 32 possibilidades no total. E o motivo para ter dado um número tão alto assim é porque estou contando essa possibilidade como sendo uma coisa totalmente diferente caso eu tivesse a seguinte distribuição: imaginando que "Ka" estivesse nessa posição, a "Kb" nessa posição aqui e a "Kc", aqui. Então temos 60 porque estou considerando isso diferente disso e o que a gente precisa fazer é imaginar que essas 2 possibilidades são como uma coisa só. Na verdade, considerar uma coisa só todas as maneiras que eu posso trocar essas 3 coisas de lugar entre elas, todas as maneiras em que posso fazer a permutação entre esses 3 elementos. Então tudo que eu tenho que fazer é dividir pelo número de possibilidades que posso permutar esses 3 elementos. Vamos contar de quantas maneiras eu consigo permutar essas 3 coisas. Se eu tenho "a", "b" e o "c" e quero fazer a permutação entre eles, ou seja, trocá-los em 3 lugares. Para "Ka", vou ter 3 possibilidades de espaço. Uma vez que uma já tomou o seu lugar, me sobram 2 possibilidades para "b" e uma possibilidade apenas para "c". O número de maneiras que eu permuto 3 coisas vai ser 3 vezes 2 vezes 1, que é igual a 6 maneiras. Portanto, 6 é o número de maneiras que essas caras trocam de lugar entre si. Calculando o número de possibilidades de exatamente 3 caras. Número de possibilidades, vamos abreviar. Como a gente já tinha dito, vai ser 5 vezes 4 vezes 3 dividido por 3 vezes 2 vezes 1. Novamente estou dividindo por 3 vezes 2 vezes 1 porque quero considerar essa distribuição de cima igual à distribuição de baixo, igual a qualquer outra distribuição em que eu troque esses carinhas de lugar entre eles. Aqui em cima, 5 vezes 4 vezes 3, o resultado é 60, dividido pelo 3 vezes 2 vezes 1, que é 6. Portanto, o resultado aqui é 10. Significa que eu tenho 10 possibilidades em que são exatamente 3 caras e 2 coroas de um total de 32 possibilidades. A probabilidade de termos exatamente 3 caras vai ser igual a 10, que é o que eu quero, dividido por 32, que é tudo que é possível acontecer. Simplificando, a gente tem 5 em 16 como chance, como probabilidade de ter exatamente 3 caras. Espero ter ajudado, pessoal. E até o próximo vídeo!