Neste artigo, vamos mostrar a utilização da contagem dentro de questões de probabilidade. Essa contagem, que pode ser permutação, arranjo ou combinação, será útil tanto no número de elementos do evento quanto no número de elementos do espaço amostral.

Vejamos alguns exemplos.

Uma empresa possui $60$60 funcionários, dos quais $4$4 serão escolhidos para compor uma comissão. Aline, Beatriz, Carla e Daiane são amigas e formaram uma chapa para concorrer aos cargos disponíveis. Sabendo que os demais funcionários também se prontificaram a concorrer aos mesmos cargos e que haverá eleição direta pelos funcionários, qual a probabilidade da chapa formada pelas amigas vencer a eleição?

O primeiro passo é determinar o espaço amostral, que nesse caso envolve a escolha de $4$4 funcionários dentre os $60$60 disponíveis. Como a ordem dos elementos não importa na composição da comissão, isso pode ser determinado pela combinação de $60$60 elementos tomados $4$4 a $4$4, ou seja:

$=\dfrac{60\times59\times58\times57\times56!}{56! \times4\times3\times2\times1}= 487635$equals, start fraction, 60, times, 59, times, 58, times, 57, times, 56, !, divided by, 56, !, times, 4, times, 3, times, 2, times, 1, end fraction, equals, 487635 comissões

Como existe apenas $1$1 chapa apresentando a combinação Aline, Beatriz, Carla e Daiane, a probabilidade de a chapa ser eleita é dada por $\dfrac{1}{487635}$start fraction, 1, divided by, 487635, end fraction.

De forma análoga, podemos pensar na situação a seguir.

Num jogo de loteria, existem $60$60 números disponíveis (de $1$1 a $60$60), dos quais é necessário escolher $4$4 para compor uma jogada.

José preencheu um bilhete com os números $1$1, $7$7, $13$13 e $60$60. Sabendo que os números podem ser sorteados em qualquer ordem, qual é a probabilidade dos números do bilhete de José serem os sorteados?

Seguindo os mesmos passos da situação anterior, chegamos na resposta $\dfrac{1}{487635}$start fraction, 1, divided by, 487635, end fraction, pois são os mesmos números ($60$60 funcionários = $60$60 números da loteria, e $4$4 números sorteados = $4$4 pessoas da comissão).

Podemos pensar também na situação a seguir, usando o princípio fundamental da contagem e a fórmula do arranjo:

Escolhem-se ao acaso $2$2 números naturais distintos, de $1$1 a $20$20. Qual é a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar?

Para resolver essa questão, primeiramente temos de imaginar quando o produto de $2$2 números naturais será ímpar.

Primeiro caso: par e par – por exemplo: $4 \times 8 = 32$4, times, 8, equals, 32.

Dois números pares, quando multiplicados, resultam em um número par.

Segundo caso: ímpar e par – por exemplo: $3\times8= 24$3, times, 8, equals, 24.

Um número ímpar vezes um número par resulta em um número par.

Terceiro caso: par e ímpar – por exemplo: $4\times5= 20$4, times, 5, equals, 20.

Um número par vezes um número ímpar resulta em um número par.

Quarto caso: ímpar e ímpar – por exemplo: $3 \times 5 = 15$3, times, 5, equals, 15.

Dois números ímpares, quando multiplicados, resultam em um número ímpar.

Ou seja, somente nesse último caso temos uma resposta da multiplicação de $2$2 números sorteados sendo ímpar.

Precisamos agora saber quantos números fazem parte do nosso espaço amostral.

Vamos pensar em um arranjo de $20$20 tomados $2$2 a $2$2, pois são $20$20 números que podem ser sorteados e $2$2 que serão sorteados.

Podemos pensar, então, em $380$380 pares de números que podem ser sorteados. Esse é nosso espaço amostral.

Pensemos agora no número de elementos do nosso evento.
Já vimos, acima, que só poderemos pegar $2$2 números ímpares (distintos) para termos o produto ímpar:

Então, temos $90$90 maneiras de escolher $2$2 números ímpares distintos de $1$1 a $20$20. Esse número representa nosso evento.

Logo, a probabilidade será:

Por último, vamos pensar:

Qual é a probabilidade de se escolher um dos $100$100 números $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, … $100$100 e ele ser múltiplo de $6$6 e de $10$10 ao mesmo tempo?

Nesse caso, nosso espaço amostral já está pronto: $100$100.

Devemos pensar, então, no número de elementos do nosso evento, ou seja, quantos números são múltiplos de $6$6 e de $10$10 ao mesmo tempo. Para isso, basta pensar no MMC de $6$6 e $10$10 = $30$30, pois MMC se refere ao múltiplo comum, que é o que queremos. Então, de $1$1 a $100$100, temos $3$3 múltiplos de $6$6 e $10$10: $30$30, $60$60 e $90$90.

Logo, nossa probabilidade será:

Neste último exemplo, não foi explorada uma ideia de arranjo, combinação ou princípio fundamental da contagem, como nos exemplos anteriores, e sim a ideia de MMC. Questões de probabilidade podem ser bem simples ou podem precisar de ideias mais complexas. Para entender bem essa assunto, deve-se fazer o máximo de exemplos possíveis. Se ficou alguma dúvida, reveja os vídeos e refaça esses exemplos e os exercícios propostos.