Probabilidade condicional explicada visualmente

RKA13C Considere a seguinte história: Bob está em quarto e ele tem duas moedas. Uma moeda honesta e uma de dupla face, ou seja, com um dos lados repetido nas duas faces. Ele pega uma moeda aleatoriamente, a vira e grita o resultado: "Cara!" Agora, qual é a probabilidade de que a moeda que ele virou seja a moeda honesta, com as duas faces diferentes? Para responder essa pergunta, precisamos voltar um pouco na sequência de ações e construir uma árvore. No primeiro evento, ele pega uma das duas moedas. Então nessa árvore crescem dois ramos, nos levando a dois resultados igualmente prováveis: honesta e não honesta. No próximo evento, ele vira a moeda, e a árvore cresce de novo. Se a moeda for honesta, nós sabemos que essa virada pode resultar em duas possibilidades: cara ou coroa. Enquanto que a moeda não honesta terá, nos dois possíveis resultados, apenas cara. Nossa árvore está terminada. Veja que ela tem folhas representando os quatro resultados prováveis. Último passo: adicione uma nova evidência. Ele diz "cara". Toda vez que tivermos novas evidências, nós podemos cortar alguns ramos da nossa árvore. Cortamos qualquer ramo que apresente o resultado de coroa, porque sabemos que não foi coroa que apareceu quando a moeda foi virada. E é isso. Assim, a probabilidade de que ele tenha escolhido a moeda honesta é a única possibilidade na qual a moeda honesta resulta em cara dividida pelos três possíveis resultados de a moeda ter virado para o lado da cara, ou seja, um terço. O que acontece se ele vira a moeda e grita o resultado novamente: "Cara!"? Lembre-se de que, a cada evento, nossa árvore cresce. Os ramos e folhas originários da moeda honesta resultou em duas possibilidades igualmente prováveis, cara ou coroa, e a moeda não honesta resulta também em dois resultados igualmente prováveis, cara e cara. Depois que Bob grita o segundo "cara", nós cortamos qualquer ramo que leve ao resultado de coroa. Dessa forma, a possibilidade de a moeda ser honesta, depois de dois resultados de cara seguidos, é de uma possibilidade honesta que resulte em cara dividida por todas as possibilidades que resultam em cara, ou seja, um quinto. Note que nossa confiança de que a moeda seja honesta está caindo à medida que mais resultados cara aparecem. Mas perceba que nós nunca atingiremos o zero: não importa quantas vezes Bob vire a moeda, nós nunca teremos 100% de certeza de que a moeda não é honesta. Na realidade, todas as perguntas de probabilidade condicional podem ser resolvidas fazendo essas árvores. Vamos fazer mais uma para ter certeza. Bob tem três moedas, duas são honestas e uma é tendenciosa. Isso é, seu peso está distribuído de forma que ela vire cara dois terços do tempo e coroa um terço. Ele escolhe uma moeda ao acaso e a vira. "Cara". Agora, qual a probabilidade de ele ter escolhido a moeda tendenciosa? Vamos voltar e construir uma árvore. O primeiro evento, a escolha da moeda, pode levar a três igualmente prováveis resultados: moeda honesta, moeda honesta e moeda não honesta. No próximo evento, a moeda é virada. Cada moeda honesta leva a dois resultados igualmente prováveis: cara e coroa. A moeda tendenciosa leva a três resultados igualmente prováveis: dois resultados representando a cara e um representando a coroa. Agora, o truque aqui é sempre ter certeza de que a árvore está balanceada, ou seja, uma quantidade igual de "folhas-resultados" saindo de cada ramo. Para fazer isso, nós podemos simplesmente aumentar o número de ramos para o mínimo múltiplo comum. Para dois e três, esse número é seis. E, finalmente, nós rotulamos nossas folhas. Para a moeda honesta, agora há seis resultados igualmente prováveis: três caras e três coroas. Para a moeda tendenciosa, nós temos duas folhas de resultados como coroa, quatro folhas com resultados para cara. Quando Bob grita o resultado "cara", essa nova evidência nos permite cortar todos os ramos que têm coroa como resultado, já que a moeda não virou do lado da coroa. Então qual é a probabilidade de que a moeda que ele virou foi a moeda tendenciosa? Bom, isso seria: quatro folhas resultantes das possibilidades da moda tendenciosa divididas por todos os resultados possíveis: 4 dividido por 10 ou 40%. Quando em dúvida, é sempre possível responder perguntas de probabilidade condicional pelo Teorema de Bayes. A probabilidade de um evento "A" dado a uma nova evidência "B". Mas, se você esqueceu, não se preocupe, você só precisa construir árvores e aparar seus ramos a cada nova evidência.