Regra da adição em probabilidade

RKA11C Vamos dizer que eu tenho uma bolsa e dentro dessa bolsa eu vou colocar alguns cubos verdes. Então, dentro da minha bolsa eu vou colocar alguns cubos verdes e, em particular, eu vou colocar 8 cubos verdes. E também vou colocar algumas esferas, eu vou colocar 9 esferas. Então, vou colocar dentro dessa bolsa 9 esferas verdes. E agora também, dentro dessa mesma bolsa, vou colocar mais alguns cubos, só que agora não verdes, vou colocar estes cubos aqui amarelos. E deixe-me pensar... Eu vou colocar 5 cubos amarelos. Então, 5 cubos amarelos, e também vou colocar algumas esferas amarelas. Vamos colocar aqui algumas esferas amarelas, vamos colocar 7 esferas amarelas. Então, vou pegar essa bolsa e misturar todos os objetos que estão dentro dela, vou sacudir bastante até cair um objeto e vou reparar que o objeto é esse que caiu. E o que eu quero pensar neste vídeo é sobre a probabilidade de pegar qualquer um desses objetos. Por exemplo: qual é a probabilidade de eu pegar um cubo de qualquer cor? Pegar um cubo de qualquer cor, só que precisa ser um cubo. Então, qual é a probabilidade de eu pegar um cubo de qualquer cor? Essa é a minha pergunta. A primeira ideia é pensar: "Quantos objetos poderiam sair dessa bolsa?" Somando todos os objetos, nós temos: "8 + 9 = 17 + 5 = 22 + 7 = 29". Ou seja, poderiam sair 29 objetos dessa bolsa. E vamos fazer isso. Primeiro, vamos representar isso em uma área bem grande. Vamos representar isso assim. Vamos terminar de fazer isto aqui. Bom, aqui no total a gente tem 29 objetos. Portanto, nós já sabemos que aqui existem 29 possibilidades. Já sabemos que tem 29 possibilidades. Agora falta descobrir quais dessas possibilidades são cubos. Assumindo que a chance de cair da minha bolsa um cubo ou uma esfera é exatamente a mesma, independentemente da cor. Bom, no total tem aqui: "8 + 5 = 13" cubos. Deixa eu desenhar isso aqui, vamos colocar aqui dentro do diagrama: 13 cubos. 13 cubos. Então 13 cubos. Eu não estou desenhando aqui exatamente proporcional aos 29, eu estou só aproximando isso. Esse é o total de cubos que eu tenho, independentemente da cor desses cubos. Então, o número de possibilidades que eu tenho de retirar um cubo da minha bolsa é o número de eventos favoráveis a mim, sobre o número total de eventos. O número de eventos favoráveis a mim, ou seja, que obedece aos critérios que eu quero, que seja um cubo, são 13. Então, eu vou colocar aqui: 13. E 29 é o total. Pode ser cubo ou esfera, aqui está incluindo tudo. Aqui em cima somente cubos. Agora, vamos fazer uma outra pergunta, uma pergunta diferente. Bom, no caso anterior, os cubos estavam representados aqui e aqui. Agora o eu quero saber é qual a probabilidade que existe de sair um objeto de cor amarela. Mais uma vez, eu vou ver o que é favorável para mim. Então eu tenho esses objetos aqui de cor amarela. No total são 12 objetos. E eu já sei também que o total de objetos é 29. Então aqui eu tenho um total de objetos igual a 29. Esse é o meu total de objetos, 29 objetos. Deixa eu desenhar aqui. Aqui, nós teremos os objetos de cor amarela, independentemente de serem cubos ou esferas. Então aqui dentro eu tenho 12 amarelos. 12 objetos amarelos. A chance de pegarmos um objeto de cor amarela é "12/29". As chances de pegar um cubo são "13/29", e as chances de pegar um objeto amarelo são "12/29". Deixa eu ainda fazer uma pergunta um pouco mais interessante. Agora, qual é a probabilidade de você pegar um cubo, sendo que esse cubo tem que ser amarelo? Então, este cubo aqui tem que ser amarelo. Além de ser um cubo, agora a gente quer um cubo amarelo. Qual é a probabilidade de pegar um cubo dessa cor? E nós temos o total de 29 possibilidades. E nós temos 5 cubos amarelos. Então "5/29". E é interessante a gente pensar: "Onde a gente encontra isso aqui dentro desse diagrama de Venn?" O que a gente está fazendo aqui é separar cubos... Aqui, cores amarelas, ou seja, objetos amarelos, e, aqui, cubos. Bom, aqui no meio eu tenho cubos que, ao mesmo tempo, são amarelos. Então nessa interseção aqui, eu tenho cubos que são amarelos. Bom, deixa eu só desfazer isso aqui, e vamos escrever isso. Então nós temos 5 cubos. E que, ao mesmo tempo, também são amarelos, então 5 cubos amarelos. Vamos escrever isso aqui dentro. Se torna muito interessante se perguntar essas coisas, porque você começa a perguntar onde as coisas estão sobrepostas aqui. Porque, a princípio, a gente só começou contando cubos, depois só começamos contando coisas amarelas, objetos amarelos e, agora sim, contando cubos amarelos. Então esta região aqui, se sobrepõe às duas regiões, ou seja, ela faz parte de ambos os conjuntos. Agora, vamos a uma pergunta que talvez seja a mais interessante de todas: qual é a probabilidade que eu tenho de pegar um objeto amarelo ou um cubo, mas um cubo de qualquer cor. Então, pode ser um objeto amarelo ou um cubo de qualquer cor. Qual é a probabilidade que eu tenho de pegar isso? Bom, no geral, eu já sei que isso aqui é igual... O total das minhas possibilidades é igual a 29. Mas o que é interessante agora é saber quais são as possibilidades, ou seja, quais são os eventos que fazem parte dessa condição. Ou seja, que sejam amarelos ou que sejam cubos. E uma maneira de pensar nisso é a seguinte: aqui nós temos 12 objetos amarelos. Desses 12 objetos amarelos, 7 são objetos que não são cubos, são estas esferas aqui. 7 são objetos amarelos. 5 são objetos amarelos e são cubos, são estes 5 cubos aqui. Aqui no total de cubos eu tenho 13, mas 5 são amarelos. Os outros 8 são verdes. Então, aqui eu tenho 8. Posso dizer que eu tenho 12 objetos amarelos... Aqui, 12 objetos amarelos. Vou escrever aqui. Neste total aqui eu tenho 13 cubos, então é mais 13. Isso é o meu número... Isto aqui é o meu número de cubos. Então, número de cubos. E, deste valor aqui, eu ainda tenho que retirar o número de cubos, ou seja, o número de cubos amarelos. Deixar só os cubos verdes, porque os amarelos eu já contei aqui, senão eu vou acabar contando duas vezes. Então, aqui é o meu número de cubos. Cubos amarelos. É meio estranho escrever amarelo de cor verde... Bom, enfim. Cubos amarelos. Então, isto aqui é o total que eu tenho, já descontando os cubos amarelos. E, fazendo a conta, simplesmente matemática, nós temos: "12 + 13 = 25 - 5 = 20"... Isso dá um total de "20/29". E o que seria realmente interessante é a gente conseguir utilizar os resultados que nós já calculamos anteriormente para poder calcular o resultado disto aqui. E dá para fazer isso! Vamos tentar fazer isso aqui embaixo, vamos lá. Então, aqui eu posso escrever "12/29". Vamos escrever aqui embaixo: "12/29". Eu estou reescrevendo essas frações. Então, aqui mais "13/29". "12/29" é a condição de eles serem amarelos, "13/29" de eles serem cubos. E, por último, eu vou escrever aqui também, de serem cubos amarelos. Então, menos "5/29". Isto aqui é o quê? Isso é a probabilidade de eles serem amarelos, mais a probabilidade de eles serem cubos. Então, a probabilidade de eles serem cubos. E, por último, eu tenho aqui a probabilidade de eles serem amarelos e serem cubos. Então, serem amarelos e cubos. Deixa eu só fazer isso com outra cor. Deixa eu utilizar a cor amarela para a gente não confundir. Então, amarelo e cubo. A probabilidade de ser amarelo e cubo ao mesmo tempo. Então, agora eu vou retirar a probabilidade de ser amarelo e cubo ao mesmo tempo. Está certo? Então, é isso que nós vamos fazer. E, se você quiser, pode brincar um pouquinho com esses números ou com outros números e pensar neste problema. Mas a ideia aqui é fazer uma coisa mais geral. Então, quando você tem uma probabilidade de ser amarelo ou cubo, por exemplo, a gente pode calcular como sendo a probabilidade de ser amarelo, mais a probabilidade de ser cubo, menos a probabilidade de ser amarelo e cubo mesmo tempo. E isso serve para qualquer caso que tenha condições parecidas com essa. Deixa eu escrever aqui embaixo uma forma mais geral para isso. Vamos dizer que eu tenho a probabilidade de um evento ser "x" ou "y". Então, um evento pode ser "x" ou "y". O resultado para esse evento será a probabilidade do evento ser "x" mais a probabilidade do evento ser "y" menos a probabilidade do evento ser "x" e "y" ao mesmo tempo. E isso aqui é muito útil, chega até a ser chamado de teorema geral da probabilidade. Neste caso aqui, a gente tem que notar que a gente está descontando a probabilidade de o evento ser "x" e "y" ao mesmo tempo. Porque, quando a gente não desconta, a gente pode estar sobrepondo esses eventos. Por exemplo, aqui em cima. Repara o que está acontecendo aqui. A gente tem a sobreposição destes eventos aqui, de ser cubo e amarelo ao mesmo tempo. E, portanto, a gente tem que acabar descontando, senão a gente vai contar isso duas vezes. Bom, agora eu vou trazer uma nova ideia aqui. A ideia é a seguinte: imagine que a gente tem agora um novo conjunto. E, dentro desse novo conjunto, eu tenho duas probabilidades. Vamos colocar aqui a probabilidade de ser "x", e a probabilidade de ser "y". Deixa eu só fazer isso com outra cor. Então, a probabilidade de ser "y". Repare que estes dois conjuntos aqui são disjuntos, eles não têm uma característica em comum. Eles não têm esta parte da interseção. Então, o que vai acontecer aqui? Eles não têm uma probabilidade comum entre "x" e "y". Então, quando a gente faz essas contas, a gente pode dizer que a probabilidade de "x" e "y" é zero. Então, se eu quiser calcular a probabilidade de ser "x" ou "y", basta calcular a probabilidade de ser "x" mais a probabilidade de ser "y". Porque aqui a gente sabe que não tem sobreposição. Esses tipos de conjuntos são chamados de mutuamente... Mutuamente exclusivos. Mutuamente exclusivos. Bom, em uma ideia mais geral, se você quiser fazer uma conta desse tipo, com conjuntos mutuamente exclusivos ou não, você sempre tem que descontar a probabilidade de ser "x" e "y" ao mesmo tempo. O que você pode pensar é o seguinte: sempre desconte! E, se você for descontar em um caso como esse, o que vai acontecer? A probabilidade de ser "x" e "y" ao mesmo tempo é zero. Então, você vai diminuir zero, não vai alterar nada. Nesse caso, você pode guardar essa ideia aqui, e utilizar em qualquer situação, mesmo sendo uma situação de eventos mutuamente exclusivos ou não. Espero que vocês tenham gostado. Até o próximo vídeo!