Probabilidade dependente

RKA1JV - Suponha que Érica jogue simultaneamente um dado de seis lados e um dado de quatro lados. Digamos que o evento "A" seja aquele em que ela tira duplas, então evento "A" é aquele em que ela tira duplas. E o evento "B" é aquele que o dado de quatro lados apresenta como resultado o número 4, então, apresenta 4 como resultado. Utilize as lacunas abaixo para colocar o resultado de cada uma das questões. A primeira questão é a seguinte: qual a probabilidade de "A", ou seja, a probabilidade de Érika tirar duplas? E aqui embaixo nós temos um diagrama que mostra todos os resultados possíveis para os dois dados. E aqui, nós temos 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 vezes 4, 24. 24 possibilidade no total. Isso faz sentido, porque você tem 4 possibilidades aqui para o dado de quatro lados, 6 possibilidades para o outro, então, no total, 24 possibilidades. A probabilidade de sair cada um desses resultados aqui é equivalente, ou seja, tem a mesma chance de sair cada um desses resultados. Vamos lá, vamos escrever aqui "P" de "A", deixe-me fazer isso aqui com uma cor um pouco diferente, vou fazer com essa cor aqui. Vou fazer: "P" de "A" é igual a alguma coisa sobre 24, que é o meu total de possibilidades. Quais são os eventos onde ela tira duplas? As duplas estão aqui, aqui tem duplas, uma dupla 1 e 1, aqui tem outra dupla, 2 e 2, aqui também tem outra dupla 3 e 3 e aqui é a quarta dupla, 4 e 4. Não existe a possibilidade de ter a dupla 5 e 5, porque esse dado só vai até 4, então, na verdade eu tenho, uma, duas, três, quatro possibilidades, 4 sobre 24. Simplificando, dividindo ambos os membros por 4, numerador e denominador, nós teremos: 4 dividido por 4, dá 1 e 24 dividido por 4 dá 6. Então, nós temos 1/6 de probabilidade de Érika tirar as duplas. Agora qual é a probabilidade de "B", ou seja, a probabilidade do dado de quatro lados apresentar 4 como resultado? Então, vamos escrever aqui. Probabilidade de "B". O que vai ser isso? Aqui vai ser, já sei que o total continua sendo 24, então, o total é 24. Agora, quais são os meus casos favoráveis? Quais são os casos onde o dado de quatro lados apresenta 4 como resultado? Tenho todos esses casos aqui, todos esses casos aqui apresentam 4 como resultado final, então, todos esses casos aqui, eu posso circular, porque eles apresentam 4 como resultado final. Eu tenho quantos casos? Eu tenho 6 casos, então isso aqui vai ser 6 sobre 24. E 6 sobre 24 é mesma coisa que, dividindo 6 em ambos os membros, eu tenho que isso aqui é igual a 1/4. Então, a probabilidade do dado de quatro lados apresentar 4 como resultado é 1/4. Isso faz muito sentido porque se você pega um dado de quatro lados e quer tirar 4 no dado, você tem uma possibilidade para os quatro lados que você tinha, então isso realmente é 1/4. Agora, qual é a probabilidade de "A" dado "B"? A probabilidade de Érika tirar uma dupla sabendo que o resultado para o dado de quatro lados é 4? Quero calcular a probabilidade de "A" dado "B". Vamos escrever isso aqui, probabilidade de "A" dado "B". E onde isso vai acontecer? Isso vai acontecer exatamente aqui, onde o dado tem 4 como resultado final, dado de quatro lados tem 4 como resultado final. "B" nesse caso já é dado, "B" é o dado de quatro lados apresentando 4 como resultado final, foi exatamente o que a gente marcou antes. Qual o resultado total disso aqui? Eu tenho 1, 2, 3, 4, 5, 6, então, aqui eu tenho 6, isso aqui é alguma coisa sobre 6. Agora, nosso numerador. Nosso numerador é a probabilidade de "A", e agora, tem que satisfazer a condição "A", ou seja, que ela tire duplas. Érika só vai tirar dupla nesse aqui, nesse caso aqui que também já estava marcado, que é a única possibilidade dentre essas aqui que foram as que nós estamos limitados, porque tem que ser dado "B". Só posso fazer dentro disso aqui porque tem que ter 4 como resultado final no segundo dado, então, aqui eu só tenho essa possibilidade, 1 possibilidade de 6. Isso faz sentido, deixe-me só escrever aqui antes, então, 1 sobre 6. Por que isso aqui faz sentido? Porque a probabilidade dela tirar uma dupla, sabendo que o resultado para o dado de quatro lados é 4, ela só tem uma possibilidade. Por quê? Porque ela só pode tirar 4 e 4, porque o resultado do dado de quatro lados é 4. E quanto resultados ela podia tirar? Podia tirar 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, ela tinha 6 resultados possíveis, mas ela só podia tirar 1, só podia tirar o número 4. Agora, qual é a probabilidade de "B" dado "A"? A probabilidade do dado de quatro lados ter 4 como resultado sabendo que Érika tirou uma dupla. Então, agora vou calcular a probabilidade de "B" dado "A". Vamos escrever isso aqui, a probabilidade de "B" dado "A". De novo, tem que pensar nisso aqui, o evento "A" já é dado, ou seja, já aconteceu, e o evento "A" é aquele onde ela tira duplas, então, só tem essas quatro possibilidades: 1 e 1, 2 e 2, 3 e 3, 4 e 4. Eu já sei que isso aconteceu, então, no total aqui eu tenho quatro possibilidades. E quantas são favoráveis a mim? Apenas um é favorável, porque agora tem que acontecer o evento "B" e o evento "B" é onde ele apresenta o resultado 4 para o dado de quatro lados. Então, isso aqui só é possível nesse caso aqui. Nesse caso aqui que a gente já tinha até marcado antes, é o único resultado possível, então isso aqui é 1/4. Deixe-me escrever isso aqui, a probabilidade do dado de quatro lados ter 4 como resultado, sabendo que Érika tirou uma dupla, é 1/4. Isso aqui também faz sentido, porque, se você pega quatro duplas, ou seja, essas duplas como estamos tendo aqui, qual é única dupla que tem 4 como resultado? É essa, então, tenho uma dupla das quatro possíveis. Agora, qual é a probabilidade de "A" e "B"? Ou seja, a probabilidade de Érika tirar uma dupla e do segundo dado ser 4. Agora tem que acontecer as duas coisas. Como a gente vai fazer isso? A primeira coisa que a gente tem que lembrar é que, de novo, nós temos 24 possibilidades. Deixe-me só colocar uma nova cor, vamos lá, vamos escrever aqui. Probabilidade de "A e B", então, vou escrever assim: "P (A e B)". Vamos lá. A probabilidade de "A e B", isso aqui vai ser o quê? Isso aqui vai ser, o meu total, já sei que são 24 possibilidades, total aqui vai ser 24 possibilidades, porque agora pode acontecer qualquer um desses resultados, não tem nenhuma restrição. E desse total de resultados, o que tem que acontecer? Um dos dados tem que ser uma dupla para cumprir a condição "A" e o segundo dado tem que ser 4, para cumprir a condição "B", essas duas condições tem que acontecer. E único resultado possível é esse aqui. Então, nós temos um resultado possível para 24. É bom você reparar que agora tem que acontecer as duas coisas ao mesmo tempo, então, 1 resultado possível sobre 24. 1/24. E qual é a "P" de "A" vezes "P" de "B" dado "A"? Ou seja, a probabilidade de "A" vezes a probabilidade de "B" dado "A". Isso aqui vai ser, bom, "P" de "A" é 1/6, deixe-me só fazer isso aqui com uma cor um pouco diferente. Deixe-me voltar aqui à minha cor original. Então "P" de "A" é isso aqui, é 1/6, isso aqui vai ser vezes "P" de "B" dado "A", "P" de "B" dado "A" é 1/4, então, vezes 1/4, isso aqui vai dar 1 sobre 24, que curiosamente é o mesmo resultado daqui. Agora, vamos fazer qual a probabilidade de "B" vezes a probabilidade de "A" dado "B". Vamos fazer novamente aqui, vou colocar agora isso aqui nessa cor, "P" de "B" é 1/4, então "P" de "B" é 1/4, vezes "P" de "A" dado "B", "P" de "A" dado "B" é 1/6, então, vezes 1/6 que curiosamente também vai dar o mesmo resultado, aqui de novo isso vai dar 1 sobre 24. Estes resultados aqui são iguais. Isso aqui faz algum sentido também, porque o que seria "P" de "A e B"? Probabilidade de acontecer o evento "A" e acontecer o evento "B". Nesse caso aqui o evento "A" já aconteceu, portanto, eu posso calcular a probabilidade de "A" vezes a probabilidade de "B". Mas o evento "A" também aconteceu, aconteceu esse evento e vai acontecer o evento "B". Na verdade, estou fazendo a mesma coisa que "P" de "A e B". Aqui embaixo segue a mesma ideia, "P" de "B", só que "P" de "B" já aconteceu, então, tenho aqui o "P" de "A" que vai acontecer depois que aconteceu "P" de "B". Então "P" de "B" vezes "P" de "A", dado que já aconteceu "B", então, também estou fazendo "P" de "B e A", por isso esses resultados são exatamente iguais. Geralmente, a gente enxerga essa fórmula de um jeito um pouco diferente, então, vou fazer aqui embaixo da maneira que eu enxergo mais fácil. Vou colocar aqui: "P" de "B" dado "A" vezes "P" de "A" eu tenho que esse evento "A" aqui já aconteceu, então, aqui vai acontecer o evento "B". Porque o evento "A" já aconteceu, dado que "A" é verdadeiro, "B" também acontece, então, acontece "B" e acontece "A". Então, isso aqui é a mesma coisa que "P" de "A e B". Da mesma forma a gente pode fazer isso aqui: "P" de "A" dado "B" vezes "P" de "B". Agora o evento "B" já aconteceu, e "A" dado "B", então, "A" acontece depois que o "B" já aconteceu. "A" acontece e "B" também acontece, então, isso aqui também é igual a "P" de "A e B", então, esses resultados são exatamente iguais. Espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo!