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Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 15

Lição 1: Distância e pontos centrais
Matemática
Biblioteca de Geometria
Geometria analítica
Distância e pontos centrais
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Fórmula da distância

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Aprenda a derivar uma fórmula geral para a distância entre dois pontos
A distância entre os pontos (x1,y1) e (x2,y2) é dada pela seguinte fórmula:
(x2−x1)2+(y2−y1)2
Neste artigo, vamos derivar esta fórmula!

Como derivar a fórmula da distância

Vamos começar plotando os pontos (x1,y1) e (x2,y2).
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois.
O comprimento do segmento entre os dois pontos é a distância entre eles:
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos.
Queremos calcular a distância. Se desenharmos um triângulo retângulo, conseguiremos usar o teorema de Pitágoras!
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos. Um terceiro ponto não identificado está em x dois, y um com uma reta conectando esse ponto ao ponto em x dois, y dois e outra reta conectando esse ponto ao ponto em x um, y um formando um triângulo retângulo.
Uma expressão para o comprimento da base é x2−x1:
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos. Um terceiro ponto não identificado está em x dois, y um com uma reta ligando esse ponto ao ponto em x dois, y dois e outra reta ligando esse ponto ao ponto em x um, y um, formando um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo retângulo é desconhecida e o lado formado a partir do ponto em x um, y um e x dois, y um está identificado como x dois menos x um.
Da mesma maneira, uma expressão para o comprimento da altura é y2−y1:
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos. Um terceiro ponto não identificado está em x dois, y um com uma reta ligando esse ponto ao ponto em x dois, y dois e outra reta ligando esse ponto ao ponto em x um, y um, formando um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo retângulo é desconhecida e o lado formado a partir do ponto em x um, y um e x dois, y um está identificado como x dois menos x um. O terceiro lado está identificado como y dois menos y um.
Agora podemos usar o teorema de Pitágoras para escrever uma equação:
?2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Podemos encontrar o valor de ? calculando a raiz quadrada de cada lado:
?=(x2−x1)2+(y2−y1)2
É isso! Derivamos a fórmula da distância!
O que é muito interessante, é que muitas pessoas não memorizam esta fórmula. Em vez disso, elas fazem um triângulo retângulo e usam o teorema de Pitágoras sempre que querem calcular a distância entre dois pontos.

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