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Distância entre ponto e reta

A distância de um ponto até uma reta é a menor distância entre o ponto e qualquer ponto na reta. Isso pode ser feito com vários recursos, como a equação reduzida da reta e o teorema de Pitágoras. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar leafers seed style do usuário clarasmassaranduba
    Tem como encontrar a distância usando uma só fórmula?
    Essa por exemplo: dp,r= |axo + byo + c|/ raiz de a²+b²
    (4 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar duskpin tree style do usuário Pedro Z. Amaral
      Sim. Se você aplicar a fórmula da distância entre dois pontos de forma genérica você encontrará essa fórmula por dedução. É bem mais rápido do que encontrar cada ponto. Essa fórmula é utilizada bastante em exercícios de Geometria Analítica que envolvem a relação de uma reta e uma circunferência.
      (2 votos)
  • Avatar male robot johnny style do usuário Maykon
    Como foi feito o calculo para localizar a reta no plano cartesiano, pois no vídeo demostra que a reta é y= -1/3 x +2?
    (2 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA- Encontra a distância entre o ponto (-2, -4), que é esse ponto aqui, e a reta igual a -1/3x mais 2 que é essa reta aqui. Para fazer isso, é preciso descobrir uma reta perpendicular a essa reta azul. "y" igual a -1/3x mais 2, que contém esse ponto aqui. Precisamos descobrir a equação desta reta. Depois, descobrir onde essas duas retas se cruzam. Depois, temos que achar a distância entre os dois pontos de intersecção e teremos a menor distância entre esse ponto e essa reta aqui. O primeiro passo é descobrir qual é o coeficiente angular da reta perpendicular. O coeficiente de uma reta perpendicular será o inverso negativo do coeficiente da reta azul. O inverso negativo de -1/3 é 3. Essa reta aqui tem um coeficiente de 3. Teremos "y" igual a 3x mais "b", onde "b" é a interceptação em "y". Pelo jeito, vai ser próximo de 2, mas vamos verificar. Para calcular "b", vamos substituir esse ponto aqui. Sabemos que o coeficiente dessa reta é 3 e que esse ponto tem que estar nela. Esse ponto tem que satisfazer à equação. Quando "x" é -2, "y" é -4 ou -4 é igual a três vezes -2, mais "b". Vou incluir o -2 ali, 3 vezes -2, mais "b". Agora, podemos calcular "b". A gente ficou com -4 que é igual a -6, mais "b". Somando 6 aos dois lados, a gente fica com 2 que é igual a "b" ou "b" é igual a 2. A interceptação em "y" para a segunda reta é em 2. Já dá para saber onde elas se cruzam, as duas cruzam o eixo "y", onde "y" é igual a 2 para as duas retas, quando "x" é igual a zero, "y" é igual a 2. Se não fosse tão óbvio, a gente poderia igualar essas duas equações. Poderíamos dizer, temos "3x" mais 2, sabemos que é "3x" mais 2 porque "b" é 2. Quando "3x" mais 2 é igual a -1/3, vezes "x" mais 2. Vamos ver! Se subtrair 2 dos dois lados quando "3x" será igual a -1/3x. Tem algumas coisas que podemos fazer aqui, podemos somar 1/3x aos dois lados e ficaremos com 3 e 1/3 que é igual a 10/3x igual a zero. Se multiplicar os dois lados por 3 sobre 10, ficaremos com um "x" é igual a 0. As retas se cruzam quando "x" é igual a zero. Para as duas, quando "x" é igual a zero, "y" é igual a 2. Dava para ter visto isso aqui. Dava pra ver a interceptação em "y" que acontece quando "x" é igual a zero e "y" é igual a 2. Esse ponto aqui é o ponto (0, 2). Já sabemos que esse ponto aqui é (-2, -4). Agora, basta calcular a distância entre esses dois pontos. E a fórmula da distância nada mais é do que uma aplicação do teorema de Pitágoras. Só precisamos achar a distância da variação, na direção do "y" e a variação na direção do "x". Vamos fazer, separadamente. Na direção do "y", qual é esta distância aqui? A gente foi de "y" igual a -4 para "y" igual a 2. Essa distância aqui é 6. Qual é essa distância aqui? Passamos de "x" igual a -2 para "x" igual a zero. Essa distância aqui é 2. A distância entre os dois pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem lados 6 e 2. Se chamar essa distância de "d", dá para falar que a distância ao quadrado é igual a, só estou repetindo a fórmula da distância, ela diz tudo isso, "y₂" menos "y₁" que é 6². Mas esse é o teorema de Pitágoras. Só estamos dizendo que 6² mais "x₂" menos "x₁", que é zero menos -2, que é 2², vai ser igual à distância ao quadrado. Esse é o teorema de Pitágoras, mas vamos achar o valor da distância. A distância ao quadrado vai ser igual a 36 mais 4 que dá 40. Agora, vejamos. A distância é igual à raiz quadrada de 40. A raiz quadrada de 40 é igual à raiz quadrada de 4 vezes 10. É igual, a distância é igual a 2, se fatorar o 4, raiz de 4 vezes raiz de 10. 2 é a raiz quadrada de 4. 2 raiz quadrada de 10 e terminamos!