Problema no plano cartesiano

RKA - Alyssa está jogando videogame. Sua personagem está em uma missão para derrotar um malvado feiticeiro e seus servos do lugar. Sua personagem é um mago cujos feitiços tem um alcance de 6 metros. As localizações dos objetos no jogo são armazenadas pelo programa de computador em função das coordenadas "x" e "y". Então, (5, 4) é a localização do mago de Alyssa, (8, 7) é a localização do Servo ''A''', (2, -1) é a localização do Servo ''B''', (9, 0) é a localização do Servo ''C''. Então, o que eu quero que você faça? Eu quero que você pause esse vídeo e tente responder. Já que o feitiço do mago de Alyssa tem um alcance de 6 metros, quais desses servos aqui, esses feitiços podem alcançar? E agora estou assumindo que você já tentou fazer. Nós temos apenas que lembrar que para esses servos aqui estarem no alcance do mago de Alyssa, esses pontos têm que estar em uma distância de no máximo 6 metros em relação ao ponto (5, 4). Para descobrir isso, basta que a gente calcule a distância entre esse ponto e esse ponto, entre esse ponto e esse ponto aqui também, e entre esse ponto e esse ponto aqui. E aí então, ver se essa distância é maior ou menor que 6 metros. E como a gente calcula a distância entre dois pontos? Bom, vamos imaginar aqui um ponto. (x1, y1). Um outro ponto aqui, (x2, y2). Nós queremos calcular essa distância aqui. E a fórmula da distância vem diretamente do teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras diz que se esse lado aqui é a nossa variação no ''y'', vamos fazer aqui na verdade o valor absoluto da variação do ''y'', e esse lado aqui é o valor absoluto da variação em ''x'', o teorema de Pitágoras diz que esse lado aqui, que é a hipotenusa, vai ser a raiz quadrada da variação do "x" ao quadrado, mais a variação do "y" ao quadrado. Portanto, (Δx)² + (Δy)². E aí você pergunta: ''o que aconteceu com o absoluto?'' Quando a gente eleva ao quadrado, a gente tem um valor positivo de qualquer maneira, então, não precisa mais usar o valor absoluto. Então, entre esses dois pontos aqui, basta que a gente perceba qual é variação no ''x'', a variação no ''y'', elevá-los ao quadrado, somá-los, e depois tirar a raiz quadrada. Então, por exemplo, se eu chamar esse ponto de ''P1'', esse outro ponto aqui de ''P2'', esse ponto aqui de ''P3'', e esse ponto de ''P4'', nós vamos agora primeiro, pensar na distância entre esses pontos. Então, a distância entre o ''P1'' e o ''P2'', isso vai ser igual à raiz quadrada da variação do ''x'', como você pode perceber aqui, essa variação é 3, e 3² dá 9, mais a variação no ''y'', e a variação do ''y'' como você pode perceber, também é 3, e 3² vai dar 9. Isso vai ser igual à √18, que é a mesma coisa que 3√2. Agora, 3√2 é mais ou menos que 6? Bom, 3 vezes 2 dá 6, a raiz quadrada de 2, por ser um número menor do que 2, então 3 vezes 2 vai ser menor do que 6, tá? Novamente, uma vez que a √2 vai ser 1 ponto alguma coisa, 1.4, logo, 3 vezes isso vai dar um número menor que 6. Então, esse servo ''A'' aqui está no alcance do mago. O mago pode atacar o servo ''A''. Agora, a distância entre o ''P1'', que é o mago, e o ''P3'', que é o servo ''B'', vai ser igual à raiz quadrada dessa variação do ''x'' aqui, que vai ser -3, e (-3)² é igual a 9 positivo, e a variação no ''y'', para ir 4 até o -1, é uma variação de -5, e (-5)² vai dar 25 positivo. E então, 9 + 25, isso vai dar a √34. E a √34 vai ser maior, menor ou igual a 6? Bom, a gente sabe que a raiz √36 é exatamente igual a 6, portanto, como 34 é menor que 36, a √34 vai ser menor do que 6 também. Então, esse servo ''B'' aqui também está ao alcance do feitiço do mago. E agora, vamos pensar nesse último ponto, a distância entre o ''P1'' e o ''P4'' será igual à raiz quadrada da variação do ''x'', do 5 até o 9, isso vai dar 4, e 4² é 16, mais o quadrado da variação no ''y'', e a variação do ''y'' aqui vai ser -4, e -4² vai dar 16 positivo, e isso vai ser igual a √32. E √32, claramente, é menor √36, que vai ser igual a 6, logo, a de √32 também é um número menor do que 6. Então, a Alyssa pode alcançar a todos esses servos aqui, todos esses três servos estão em uma distância menor que 6 metros. Agora, qual deles está numa distância maior? Qual está mais distante? Pois bem, nós decidimos simplificar isso daqui, mas posso escrever como √18 e, agora, posso comparar. Claramente, √18 vai ter o menor valor entre esses três aqui, então, é o que está mais próximo lá do mago de Alyssa, então, o servo ''A'' é o que está mais próximo. E o que está mais distante vai ser esse aqui, que está a uma distância de √34, portanto, o servo ''B''. O servo ''B'' é o mais distante.