Conteúdo principal
Biblioteca de Geometria
Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 15
Lição 3: Solução de problemas com distâncias no plano cartesiano- Área de um trapézio no plano cartesiano
- Área e perímetro no plano cartesiano
- Pontos dentro/fora/sobre uma circunferência
- Pontos dentro/fora/sobre uma circunferência
- Desafio: pontos em duas circunferências
- Problema no plano cartesiano
- Problemas de planos cartesianos: polígonos
- Classificação de quadriláteros no plano cartesiano
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Pontos dentro/fora/sobre uma circunferência
Neste vídeo, usamos a fórmula da distância para determinar se o ponto (-6,-6) está dentro, fora, ou sobre a circunferência centralizada em (-1,-3), cujo raio é 6.
Quer participar da conversa?
- Não tive dúvidas sobre o vídeo(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Uma circunferência
tem centro no ponto C (-1, -3) e raio de 6 unidades. Onde o ponto P (-6, -6)
se encontra? Temos 3 opções. Na região interna à circunferência, sobre a circunferência, ou na região externa à circunferência. Vamos começar analisando a situação. Temos aqui um ponto "C",
que é o centro da circunferência, o raio de 6 unidades, e já sabemos que a circunferência
está definida assim. Lembre-se de que a circunferência é o conjunto de todos os pontos no plano que estão à distância de exatamente
6 unidades do centro. Observe que se o "P" estiver a menos de
6 unidades distante do centro, ele vai estar aqui na região
interna à circunferência. Por outro lado, se a distância de "P" até o centro "C" for de exatamente 6 unidades, obrigatoriamente "P" estará
sobre a circunferência. Finalmente, se "P" estiver a uma distância maior do que 6 unidades do centro, ele vai estar na região
externa à circunferência. Então, a chave para responder
à nossa questão é verificar qual é a distância
do ponto "P" até os centro "C" da circunferência. Se for uma distância menor do que 6, igual a 6 ou maior do que 6, já temos condições de responder
ao que está sendo perguntado. Podemos, então, usar aquela fórmula
de distância de ponto a ponto, que nada mais é que a aplicação
do teorema de Pitágoras. Vou indicar aqui como d(C,P), distância de "C" até "P", e é igual à raiz quadrada da variação em "x" entre os dois pontos elevado ao quadrado, mais a variação
em "y" entre os dois pontos elevado ao quadrado. Qual é então a variação em "x"? Considerando que estamos
indo de "C" até "P", estabelecemos essa ordem ali
na escrita da fórmula, de -1 do "x", da abscissa do "C", até o -6, que é abscissa do "P", vamos ter uma distância de (-6 - (-1), e ainda temos de elevar
essa distância ao quadrado. Aqui temos a variação em "x", e elevada ao quadrado, mais, e agora
vamos ter de fazer a variação em "y" elevado ao quadrado. No "y", vamos de -3 a -6, portanto, a variação em "y"
será -6 - (-3), e ainda tem de ser elevado ao quadrado. Este é o Δy, variação em "y". Temos então -6 + 1, que dá -5, elevado ao quadrado, e na variação do "y" temos -6 + 3, o que resulta em -3². E como você pode ver, a variação em "x" foi de -5, porque do -1 até o -6 diminuímos 5 unidades
no valor da abscissa. Da mesma forma para "y",
de -3 a -6, foram diminuídas as 3 unidades. Voltando aos cálculos, teremos √25+9, ou seja, a raiz quadrada de 34. Então sabemos que a distância de "C" até "P" é √34 unidades. Agora, a questão é saber se isso é exatamente 6, maior que 6,
ou menor que 6. Nós já sabemos evidentemente que
6 é igual a raiz quadrada de 36. A √34, evidentemente, é menor que √36. √34 menor que √36,
escrevo aqui. Ou seja, √34 é menor que 6. Agora já podemos concluir que, como a distância de "C" até "P"
é menor que 6, o ponto "P" está na região
interna à circunferência. Se eu tivesse chegado
a um resultado de √36 aqui, eu saberia que o ponto
estaria sobre a circunferência. Por outro, lado se eu tivesse,
por exemplo, a √37, ou a raiz quadrada de qualquer número
maior que o 36, eu teria o "P" na região
externa à circunferência. Até o próximo vídeo!