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Biblioteca de Geometria
Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 15
Lição 4: Retas paralelas e perpendiculares no plano cartesianoRetas paralelas e perpendiculares a partir do gráfico
Os coeficientes de retas paralelas são iguais, e os coeficientes de retas perpendiculares são opostos. Este é um exemplo prático de como determinar se as retas dadas são paralelas ou perpendiculares.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Neste vídeo, vamos
fazer alguns exemplos envolvendo retas paralelas
e perpendiculares. Retas paralelas, retas perpendiculares, e lembre-se, também,
de que temos casos em que retas não são nem paralelas,
nem perpendiculares. Agora, uma pequena revisão. Lembre-se de que as retas paralelas nunca se interceptam, nunca se cruzam. Vou colocar um exemplo aqui. Aqui estão os eixos coordenados,
eixo "x" e eixo "y". Se eu tiver uma reta aqui em cor-de-rosa, uma outra reta paralela a ela,
que seria esta amarela, estaria em uma situação como esta. Evidentemente, estas duas
não são a mesma reta, mas elas têm a mesma inclinação. Se tomarmos nesta reta uma variação em "y" e uma variação em "x" e fizermos a divisão, vamos ter um resultado, que é o mesmo resultado que
se fizermos na reta amarela, a mesma variação em "x"
e em "y", e dividirmos. Esse é o motivo pelo qual elas nunca
se cruzam, têm a mesma inclinação. Importante frisar: retas paralelas
têm a mesma inclinação. No caso das retas perpendiculares, elas não só se cruzam em um ponto, mas elas se cruzam formando um
ângulo reto, um ângulo de 90°. Uma informação importante sobre o coeficiente angular
das retas perpendiculares, que eu não vou demonstrar aqui, mas vou demonstrar na
playlist de Álgebra Linear, é que, por exemplo, se na reta amarela,
o coeficiente angular, ou seja, a inclinação
dela é indicada por "m", na reta laranja,
que é perpendicular a ela, o coeficiente angular vai ser -1/m. Ou seja, entre retas perpendiculares, os coeficientes angulares são
um o inverso do oposto do outro. Com essas informações, podemos, se tivermos algumas retas, identificar se elas são paralelas,
perpendiculares, ou nenhuma dessas situações. A chave para isso é olhar para
as inclinações das retas, para os coeficientes angulares. Vamos observar neste exemplo. Uma reta passa pelos pontos
(4, -3) e (-8, 0). Outra reta, passa pelos pontos (-1, -1) e (-2, 6). Vamos olhar para os coeficientes
angulares destas duas retas. Vou começar pela primeira. Vamos dizer que esta
primeira reta é a reta 1, e eu vou indicar por m₁
o coeficiente angular dela. Para calcular o coeficiente angular dela devo fazer a variação em "y"
dividida pela variação em "x" entre dois pontos conhecidos. Neste caso aqui, vamos entender que
o primeiro ponto é o final e o segundo ponto inicial, então em "y" a variação é "-3 - 0", e isso sobre a variação em "x", que seria 4 -(-8),
ou seja, 4 + 8. Vamos ficar, então, com -3 sobre, 4 + 8, dá 12, e isso resulta em -1/4. Este é, então, o coeficiente angular
para a primeira reta. Vamos analisar, agora, a segunda. Seguindo a mesma ideia, o m₂, que é o coeficiente angular
da segunda reta, vai ser igual ao -1 do "y" menos o 6,
que é o "y" do outro ponto, estamos falando da variação em "y", dividido por -1 do "x" agora menos -2. Vamos ter, então,
-7 no numerador e no denominador -1 -(-2),
que é -1 + 2, vai resultar em 1 positivo. Este coeficiente angular,
então, é simplesmente -7. Comparando os dois coeficientes angulares, primeiro notamos que
um é diferente do outro, então, elas não são retas paralelas. E observando também,
facilmente percebemos que um não é o oposto do inverso do outro, portanto, também não são perpendiculares. Então, estas duas retas entre si não são nem paralelas,
nem perpendiculares. Podemos ter certeza de que
estas duas retas se cruzam, mas o ângulo formado entre elas
não é um ângulo de 90°. Vamos a um outro exemplo. Uma reta passa pelos pontos
(-3, 14) e (1, -2). Outra reta passa pelos pontos
(0, -3) e (-2, 5). Vou considerar a primeira reta aqui, que passa pelos pontos (-3, 14) e (1, -2), e para calcular o seu
coeficiente angular m₁, vou fazer a variação em "y", que seria -2 -14, sobre, agora a variação em "x", na mesma
ordem que eu peguei antes, eu peguei do segundo ponto
menos o primeiro, então, vou fazer a mesma coisa no "x". Teremos 1 - (-3). Teremos, então,
-2 - 14 = -16 no numerador, e no denominador 1 + 3, temos 4. -16/4 resulta em -4. O coeficiente angular da reta 1 é -4. Para a segunda reta,
o coeficiente angular m₂ vai ser igual à variação em "y",
5 menos -3, sobre a variação em "x",
-2 menos zero. Vamos ter então no numerador, 5 - (-3)
resulta em 8, dividido por -2. Então, o coeficiente angular
desta segunda reta é -4. E como os coeficientes angulares
das duas retas são iguais, podemos garantir que
estas retas são paralelas, elas têm exatamente a mesma inclinação. Eu sugiro que você construa o gráfico representando estas duas retas para você verificar que
de fato elas são paralelas. Temos aqui mais um exemplo. Uma reta passa pelos pontos
(3, 3) e (-6, -3), outra reta passa pelos pontos
(2, -8) e (-6, 4). Vamos, novamente,
calcular os coeficientes angulares para tirar alguma conclusão. Para a primeira reta, m₁ vai ser igual à variação em "y",
3 - (-3) sobre a variação em "x",
3 - (-6). No numerador, 3 + 3 = 6,
no denominador, 3 + 6 = 9. Então, simplificando, o coeficiente
angular da primeira reta é 2/3. Vamos para o coeficiente
angular da segunda reta. Variação em "y",
- 8 - 4 sobre a variação em "x",
2 - (-6). No numerador, -8 - 4 = -12 e no denominador, 2 - (-6),
2 + 6 resulta em 8. Simplificando, ao dividir por 4, -3/2 é o coeficiente angular
da segunda reta. Agora, compare os dois
coeficientes angulares. Está bem claro que um
é o oposto do inverso do outro. Para verificar, se eu tomar -1
dividido por 2/3, que é o coeficiente angular
da primeira reta, isso vai ser igual a -1 vezes o inverso
da fração 2/3, que é 3/2, que resulta em -3/2, que é justamente o coeficiente angular
da segunda reta. E como isso está garantido,
podemos tranquilamente afirmar que estas duas retas são perpendiculares. Eu sugiro que você, mais uma vez, represente graficamente estas retas e verifique que, de fato,
elas são perpendiculares. Até o próximo vídeo!