Demonstração: o raio é perpendicular a uma corda que o divide ao meio

RKA - No último vídeo vimos que se tem dois triângulos diferentes e se todos os lados correspondentes dos dois triângulos têm o mesmo comprimento, então por 'lado, lado, lado' a gente sabe que os dois triângulos são congruentes. E também falei um pouco sobre axioma ou postulado, mas quero ser claro. Às vezes você vai ouvir sendo chamado de teorema 'lado, lado, lado' e às vezes como postulado ou axioma 'lado, lado, lado'. Acho que é importante diferenciar entre os dois. Um postulado ou um axioma é algo que assume, e assume desde o começo, enquanto um teorema é algo que prova usando postulados ou axiomas. Na matemática, sempre se usam suposições básicas e chamamos de axiomas ou postulados, e usando isso você tenta provar os teoremas. Talvez usando essa, eu possa provar algum teorema, e talvez usando este teorema e depois este axioma eu possa provar outro teorema. E usando os dois teoremas eu possa provar outro teorema aqui. Acho que deu para você entender. Esse axioma pode nos levar até este teorema, esses dois podem nos levar até este teorema. Basicamente tentamos construir nosso conhecimento ou construímos uma matemática em torno destas suposições básicas. Em uma aula de introdução à geometria, não provamos o teorema 'lado, lado, lado' rigorosamente, por isso que em muitas aulas de geometria você simplesmente assume como um postulado ou um axioma. E faço isso justamente para que você saiba a diferença entre as palavras teorema e postulado ou axioma. E também para que não se confunda, é simplesmente uma suposição. Mas em muitos livros vi que se dizem como teorema 'LLL', mesmo sem provar rigorosamente. Simplesmente assumem e na verdade é mais um postulado ou um axioma. Dito isso, agora vamos assumir que a gente sabe que é verdadeiro. Vamos considerar como verdadeiro. Eu quero mostrar que já podemos fazer algo prático. Digamos que tem um círculo. E tem tantas coisas práticas que dá para fazer com ele. E este círculo tem um centro em "A", e uma corda no círculo que não é um diâmetro. Vou desenhar a corda neste círculo. É como um segmento de uma reta secante. E digamos que tem uma reta que bifurca esta corda no centro. E acho que vou chamar de raio porque vou do centro para a borda do círculo. Vou para o centro do círculo. Quando digo que bifurca, só estou montando o problema. Quando digo que bifurca quer dizer que divide esse segmento de reta pela metade. O que nos diz é que o comprimento deste segmento será equivalente ao comprimento deste outro. Eu montei, tenho um círculo. Este raio bifurca esta corda e o objetivo é provar que ele bifurca esta corda em um ângulo reto. Ou outra forma de dizer... vou adicionar alguns pontos aqui. Vamos chamar de "B", e este de "C", e este de "D". Quero provar que o segmento "AB" é perpendicular, ele cruza no ângulo reto e é perpendicular, ao segmento "CD". Como pode imaginar, eu vou provar usando o 'LLL' como teorema, postulado ou axioma 'LLL'. Então, vamos lá! Vamos pensar assim, pode imaginar que se vou usar isto preciso ter alguns triângulos. Não tem triângulos aqui nesse momento, mas eu posso construir triângulos e triângulos com base nas coisas que conheço. Por exemplo, posso construir... Isso tem um raio. Isto é um raio. O comprimento disso será o raio do círculo. Mas também posso fazer bem aqui, no comprimento de "AC", também será o raio do círculo. Sabemos que essas duas retas têm o mesmo comprimento que é o raio do círculo. Ou dá para falar que "AD" é congruente com "AC" ou que eles têm exatamente o mesmo comprimento. Da montagem do problema sabemos que esse segmento tem comprimento igual a este segmento. Vou colocar um ponto para ter como referência. Então se eu chamar de ponto "E", sabemos da montagem do problema que "CE" é congruente com "ED" ou que tem o mesmo comprimento. "CE" tem o mesmo comprimento que "ED". E também que os dois triângulos, esse aqui do lado esquerdo e este do lado direito, os dois compartilham o lado "EA". "EA" é igual a "EA", então isto é igual a si mesmo, é o mesmo lado. O mesmo lado está sendo usado para os dois triângulos que são adjacentes. A gente tem uma situação onde tem dois triângulos diferentes que têm lados correspondentes iguais. Esse lado é equivalente a esse lado aqui. Esse lado tem um comprimento igual àquele lado ali. Logicamente, "AE" é equivalente a si mesmo. É um lado dos dois, é o lado correspondente nesses dois triângulos. Então, por 'LLL', a gente sabe que o triângulo ABC é congruente ao triângulo... desculpa, não é ABC e sim AEC. Triângulo AEC. Vou escrever. Por 'LLL', sabemos que o triângulo AEC é congruente com o triângulo AED. Triângulo AED. Mas como isso nos ajuda? Como isso ajuda sabendo que usamos o teorema? Mas como nos ajuda nesse caso? O legal é que uma vez que sabemos que dois triângulos são congruentes, pelo fato de serem congruentes, a partir disso dá para deduzir que todos os ângulos são iguais. E especificamente deduzir que a medida do ângulo CEA é equivalente à medida do ângulo DEA. Dá para ver, só de olhar, que eles são suplementares. São ângulos adjacentes, os lados exteriores formam um ângulo reto. CEA é suplementar e equivalente à DEA e também são suplementares. Também tem a medida do ângulo CEA mais a medida do ângulo DEA é igual a 180 graus. Mas eles são equivalentes e eu poderia substituir a medida de DEA com a medida de CEA. Ou reescrever como, 2 vezes a medida do ângulo CEA é igual a 180 graus, ou dividir os dois lados por dois. Digo que a medida do ângulo CEA é igual a 90 graus que será igual à medida do ângulo DEA porque são equivalentes. Sabemos que este ângulo tem 90 graus, eu posso marcar com uma caixinha, e este ângulo tem 90 graus. E como "AB" cruza "CD", temos um ângulo de 90 graus aqui e aqui. E também poderíamos provar isso. Eles são perpendiculares.