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Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 14

Lição 9: Propriedades das tangentes

Desafios: raios e tangente

Resolva dois problemas desafiadores que aplicam propriedades de tangentes para calcular o raio de um círculo com uma tangente.

Problema 1

\overset{\leftrightarrow}{A C}

é tangente ao círculo

O

no ponto

C

Quanto mede $\overset{―}{O C}$ ‍?

unidades

Como

\overset{\leftrightarrow}{A C}

é tangente à circunferência no ponto

C

, o raio que vai para o ponto

C

é perpendicular à reta tangente. Isto quer dizer que

∠ A C O

mede

90^{\circ}

Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida de

\overset{―}{O C}

Teremos que descobrir a medida de

\overset{―}{O A}

Sabemos que

A B = 2

B O = O C

porque ele é o raio do círculo.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 2 + O C$ ‍

Agora que temos uma expressão para a medida de

A O

, podemos descobrir quanto mede

O C

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 4^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 2)^{2} \\ 16 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 4 O C + 4 \\ 12 & = 4 O C \\ 3 & = O C \end{aligned}$ ‍

A medida de $\overset{―}{O C}$ ‍ é igual a $3$ ‍ unidades.

Problema 2

\overset{\leftrightarrow}{A C}

é tangente ao círculo

O

no ponto

C

Quanto mede $\overset{―}{O C}$ ‍?

unidades

Como

\overset{\leftrightarrow}{A C}

é tangente à circunferência no ponto

C

, o raio que vai para o ponto

C

é perpendicular à reta tangente. Isto quer dizer que

∠ A C O

mede

90^{\circ}

Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida de

\overset{―}{O C}

Teremos que descobrir a medida de

\overset{―}{O A}

Sabemos que

A B = 18

B O = O C

porque ele é o raio do círculo.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 18 + O C$ ‍

Agora que temos uma expressão para a medida de

A O

, podemos descobrir quanto mede

O C

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 30^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 18)^{2} \\ 900 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 36 O C + 324 \\ 576 & = 36 O C \\ 16 & = O C \end{aligned}$ ‍

A medida de $\overset{―}{O C}$ ‍ é igual a $16$ ‍ unidades.

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