Prova: as diagonais do losango são mediatrizes

RKA13MB - O quadrilátero ABCD é um losango. O exercício pede para provarmos que as diagonais são perpendiculares, que AC é perpendicular a BD. Vamos pensar sobre tudo o que sabemos sobre losangos. Em primeiro lugar, um losango é um caso especial de paralelogramo. Em um paralelogramo, os lados opostos são paralelos. Esse lado é paralelo a esse outro lado, esses dois lados são paralelos. Em um losango, os lados opostos não são apenas paralelos, todos os lados também têm o mesmo comprimento. Esse lado é igual a esse outro lado, que é igual a esse lado, que é igual a esse lado aqui. Há outras coisas interessantes que sabemos sobre as diagonais de um paralelogramo. Como sabemos que todos os losangos são paralelogramos, o contrário não é necessariamente verdade. Sabemos que, para qualquer paralelogramo (e losangos são paralelogramos), as diagonais são bissetrizes uma da outra. Por exemplo, vamos marcar esse ponto no centro: ponto E. Sabemos que AE é igual a EC. Vamos colocar duas barras aqui. Sabemos também que o EB é igual a ED. Isso é tudo o que sabemos se nos disserem apenas que ABCD é um losango, com base em outras coisas que comprovamos. Agora, vamos provar que AC é perpendicular a BD. Uma maneira interessante de provar isso, e podemos observar apenas marcando, seria demonstrar que esse triângulo é congruente a esse outro triângulo, e que esses dois ângulos aqui correspondem uns aos outros. Então, eles seriam iguais e complementares e teriam 90 graus. Portanto, vamos provar isso. A primeira coisa que vemos é que temos um lado, um lado e um lado; um lado, um lado e um lado. Dessa forma, podemos observar que o triângulo... (vamos escrever aqui com uma nova cor)... ... o triângulo ABE é congruente ao triângulo CBE. E sabemos disso pelo critério de congruência lado-lado-lado. Sabendo disso, podemos afirmar que todos os ângulos correspondentes são congruentes. Todos os ângulos correspondentes são congruentes. Em particular, sabemos que o ângulo AEB é congruente ao ângulo CEB, porque eles são ângulos correspondentes de triângulos congruentes. Esse ângulo aqui é igual a esse ângulo aqui. Sabemos também que eles são suplementares. Vamos escrever dessa forma: eles são congruentes e suplementares. Esses dois têm a mesma medida, e sua soma precisa totalizar 180 graus. Se a gente tem duas coisas iguais e que totalizam 180 graus, o que que isso quer dizer? Isso quer dizer que a medida do ângulo AEB é igual à medida do ângulo CEB, que deve ser igual a 90 graus. Eles têm a mesma medida e são suplementares. Esse é um ângulo reto, e esse também é um ângulo reto. Obviamente, esse é um ângulo reto, esse ângulo aqui é um ângulo vertical, esse é um ângulo reto, esse é um ângulo reto, esse aqui também é um ângulo vertical. A gente pode ver que as diagonais cruzam em um ângulo de 90 graus, portanto provamos o que queríamos. Isso é interessante. Em paralelogramos, as diagonais são mediatrizes uma da outra. Em losangos, em que todos os lados são iguais, demonstramos que não apenas elas cortam uma outra no ponto médio, mas também são mediatrizes uma da outra.