Ângulos correspondentes em triângulos congruentes

RKA - Temos esse triângulo maior aqui e dentro dele esses outros triângulos menores. Também temos essas informações: o triângulo BCD é congruente ao triângulo BCA que também é congruente ao triângulo ECD. Dadas apenas essas informações, o que eu quero fazer nesse desenho? Eu quero avaliar quanto vale cada ângulo desses com a medida de cada ângulo. Então, vejamos o que a gente pode fazer. Vamos começar com as informações que recebemos. Sabemos que o triângulo BCD é congruente, então, bom, a gente sabe que BCD é congruente. Todos esses triângulos são congruentes entre si. Por exemplo, BCD é congruente a ECD e os seus lados correspondentes e também seus ângulos correspondentes também serão congruentes. Então, apenas olhando na ordem em que eles foram escritos, B, o vértice B, corresponde, neste triângulo BCD, corresponde ao vértice B em BCA. BCA, então, isso é o vértice B em BCA que corresponde ao vértice E em ECD. Então, todos, tudo que eu fiz na cor vermelha, todos esses ângulos são congruentes. Também sabemos que o ângulo C, então, em BCD, esse ângulo bem aqui é congruente. O ângulo C no BCA, BCA, o ângulo C está aqui, o C é vértice daquele ângulo no BCA, e que também o ângulo C, podemos chamá-lo assim, em ECD. Porém, no ECD, estamos falando deste ângulo aqui. Então, esses três ângulos vão ser congruentes. Eu acho que deu para você perceber o valor desses três ângulos. Vamos continuar a ver todas as informações que temos. Finalizando, a gente tem o vértice D, então, o ângulo, então esse é o último da lista, B. Então, em BCD, esse ângulo, esse ângulo bem aqui corresponde ao ângulo A no vértice BCA. O BCA vai corresponder a este ângulo aqui. Este é o único que nós ainda não definimos se ele corresponde a esse ângulo, a esse vértice bem aqui. E para fazer isso ficar mais claro, este C também será desenhado em amarelo. Agora que temos todas essas congruências, a gente pode tirar outras conclusões interessantes. Primeiro, aqui o ângulo BCA, o ângulo BCD e o ângulo ECD são todos congruentes. Quando você soma todos eles, o resultado será 180 graus. Se colocar todos os adjacentes e, aqui, eles são todos adjacentes, a soma será um ângulo raso, se olhar os dois lados externos. Então, tem, eles são iguais e esses três somados resultam em 180 graus, de onde se conclui que cada um deles tem que ser igual a 60 graus. Essa é a única forma de você ter três ângulos iguais que somados resultam em 180 graus. Beleza até aqui, o que mais podemos fazer? Em cima, temos dois ângulos, eles são iguais e a sua soma resulta em 180 graus e são suplementares e a única forma de ter dois ângulos iguais cuja soma 180 graus é que cada um tenha 90 graus. Esses dois têm 90 graus e podemos ver que este é um ângulo reto e esse é um ângulo reto. Esse é congruente a esses dois, então, também tem 90 graus. E agora só restaram os ângulos na cor vermelha e aqui podemos dizer que a soma de 90 mais 60, mais algum número será igual a 180. 90 mais 60 resulta 150. Então, esse tem que ser 30 graus para totalizar 180. Então, aquele é 30 graus e esse é 30 graus. E essa coisa aqui é 30 graus. E, agora, finalizando, na verdade, a gente já fez o que dissemos que íamos fazer, calculamos todos os ângulos, podemos pensar nesses ângulos externos. Bom, não ângulos externos, porém os ângulos combinados. Então, o ângulo AC, ou melhor, o ângulo AB, esse ângulo inteiro tem 60 graus. Esse ângulo inteiro tem 90 graus e esse ângulo aqui tem 30. O interessante é que, esses três triângulos menores, todos têm exatamente os mesmos ângulos 30, 60 e 90. E lados com comprimentos exatamente iguais, sabemos disso porque são congruentes. O que é interessante é que quando você coloca todos eles juntos dessa forma, quando constrói esse triângulo maior, o triângulo ABE que, nitidamente, não é congruente, é um triângulo maior e tem lá os com medidas diferentes, mas tem os mesmos 30, 60 e 90. Então, ele é na realidade semelhante a todos os triângulos dos quais ele é feito.