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Construções geométricas: tangente da circunferência (exemplo 2)

Neste vídeo, construímos uma reta tangente a uma circunferência usando um compasso e uma régua.

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Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos fazer mais um exemplo de uso de um compasso virtual e uma régua virtual. O que eu quero fazer aqui é construir uma reta tangente a este círculo. Então, ele está falando assim: "Construa uma reta que passe por "P" que é tangente a esse círculo". Nesse nosso exemplo, o "P" não está sobre a circunferência do círculo, está fora. Então, para a gente começar a fazer isso, deixe eu pegar a régua. Está aqui a régua. Isso é no site do exercício da Khan Academy que fala sobre esse tema. Então, a gente pode pegar um compasso virtual ou régua virtual. Vou pegar a régua. A gente pode tentar fazer isso no "olhômetro" primeiro. Então, sei que essa reta tem que passar pelo "P" e tem que ser tangente ao círculo. Vamos ver. Parece razoável. Mas, como nós vimos em outros vídeos de geometria, isso é apenas "olhômetro", a gente não pode ter certeza que isso, realmente, é uma reta tangente que está tocando em um único ponto da circunferência. E como a gente pode ter certeza de que é uma reta tangente? Bom, o processo é bem interessante e você vai ver agora. Vou começar a fazer essa construção fazendo um diâmetro de "P" até "C" e construindo um círculo com esse diâmetro "PC", aqui. Portanto, vamos fazer esse diâmetro: aqui no "C" até no "P". Esse vai ser o diâmetro do nosso novo círculo. E agora, para poder construir o círculo, ou a circunferência, porque vai ser só a linha, eu preciso saber qual é o centro desse diâmetro, porque aí eu vou saber o raio. E aí, é só centralizar o compasso no centro desse diâmetro, que nós teremos o nosso círculo. Para fazer isso, eu vou usar o compasso e vou fazer um círculo centrado em "C", por exemplo, que seja um pouquinho maior que esse nosso ponto central, que vá um pouco além desse nosso ponto central do diâmetro. E, agora, vou construir um outro círculo centrado também no ponto "C" só para poder pegar o mesmo tamanho aqui, o mesmo raio. Só que, dessa vez, eu vou centralizar esse círculo aqui no ponto "P". Agora, por que isso que nós fizemos é interessante? Porque esses dois pontinhos aqui, onde esses círculos se intersectam, são equidistantes de "C" e "P". E como eu sei disso? Porque todos os pontos sobre essa circunferência aqui são equidistante de "P" e todos os pontos dessa aqui são equidistantes de "C". Então, nesses dois pontos, eu tenho pontos equidistante de "C" e "P", porque esses dois círculos têm o mesmo raio. Então, posso garantir isso. E eu posso garantir que esse ponto aqui, que vai cortar o diâmetro "CP", vai ser exatamente o centro. Esse segmento, essa reta, vai ser a mediatriz desse segmento, do segmento "CP". Bem, a razão pela qual eu fiz isso é porque a gente queria fazer um círculo centralizado aqui, nesse ponto central, com um diâmetro "CP". Então, vamos lá. Diâmetro "CP", passando por "P" e passando por "C". E, agora, por que eu fiz isso aqui? Bom, a gente vai usar a ideia de que, se nós tivermos um triângulo inscrito dentro de um círculo de maneira que um lado desse triângulo seja um diâmetro, então, esse triângulo será um triângulo retângulo. Vamos fazer isso. Vou colocar uma régua aqui. Eu já tenho esse lado do meu triângulo, que vai ser o diâmetro desse círculo que tem diâmetro "CP". Esse lado "CP" é um dos lados do triângulo. Agora, vou fazer um outro lado do triângulo, aqui, só que pegando bem nesse pontinho que pega na circunferência, que tem centro "C", beleza? E aí, vou fazer o outro lado desse triângulo retângulo, porque eu estou afirmando que é um triângulo retângulo. E por que eu posso afirmar isso? Você pode verificar em outros vídeos da Khan Academy, mas ele está inscrito neste círculo que está em amarelo, você está vendo? E ele tem, como um dos lados dele, esse lado "CP", que é exatamente o diâmetro desse círculo todo e que vai ser a hipotenusa desse triângulo retângulo. Então, o ângulo de 90 graus está aqui. E nós já provamos esse fato em outros vídeos aqui da Khan Academy. Agora, por que isso é importante para a gente construir uma reta tangente a esse círculo que tenha centro "C" e que passe por esse ponto "P"? Bem, nós temos esse lado aqui, desse círculo, que é exatamente um raio do círculo. E se esse raio está fazendo um ângulo de 90 graus com esse outro lado do triângulo, eu posso dizer que esse lado aqui, é tangente ao círculo. Deixe eu até fazer um pouco maior, só para você ter uma noção melhor da tangência disso. Beleza. Agora, você pode ter a segurança de que eles estão realmente se intersectando no ângulo reto e que essa reta, aqui, que passa por "P", é tangente ao círculo "C". Esta que está em amarelo para você é a reta tangente. Mas você pode falar assim: "Ah, mas eu poderia ter construído algo no 'olhômetro' sim". Tudo bem, só que se você estiver trabalhando em uma escala maior, se realmente precisar de uma precisão maior, você tem que fazer com a garantia geométrica que realmente isso é uma reta tangente. E é sempre muito interessante você perceber o que uma régua e um compasso podem fazer e assegurar para você. Formamos uns padrões interessantes aqui, que eu até colocaria na minha parede. Até o próximo vídeo!