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Demonstração de que ângulos opostos pelo vértice são congruentes

Demonstração de que ângulos opostos pelo vértice são iguais. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - O que eu quero fazer neste vídeo é demonstrar que ângulos Opostos Pelo Vértice são realmente iguais, que suas medidas são iguais entre si. Digamos que eu tenha uma reta aqui e tenha outra reta ali e, vamos chamar esse ponto de "A", ponto "B", ponto "C", esse de "D" e esse aqui de "E". Podemos pegar um ângulo ao acaso aqui, digamos ângulos CBE, o que é isso? CBE, parecia um "F". Esse é o ângulo CBE. O que eu quero fazer é, se eu puder provar que o ângulo CBE vai ser sempre igual ao seu ângulo Oposto Pelo Vértice, ângulo DBA, então, vou provar que todos os ângulos Opostos Pelo Vértice são sempre iguais, porque este é um caso geral. O que eu quero demonstrar aqui é que o ângulo CBE é igual a, poderia dizer a sua medida, de outra maneira, na verdade, poderia escrever isso sem as medidas para você se acostumar a diferentes notações. Diria que vou provar que o ângulo CBE é igual ao ângulo de DBA. É igual ao ângulo DBA. A primeira coisa que sabemos é que o ângulo CBE e o ângulo DBC são suplementares, são ângulos adjacentes e seus ângulos externos formam, com eles, ângulos rasos. Sabemos que o ângulo CBE o ângulo DBC são suplementares. Suplementares. Eu vou só escrever "Sup" - "S", "U" e "P", para que você saiba, são suplementares o que significa que a soma do ângulo CBE mais o DBC é igual a 180º. Muito bom até aqui! Também, sabemos que, deixe-me ver, este CBE que é o que me interessa e queremos provar que ele é igual àquele ali. Também sabemos que o ângulo de DBA, a gente sabe que aquele é o ângulo DBA. Também, sabemos que o ângulo DBA e o DBC são suplementares. Esse ângulo e esse são suplementares, os seus lados externos formam um ângulo raso, são adjacentes e, portanto, suplementares. O que nos indica que o ângulo DBA somado ao ângulo DBC vai resultar em 180º. Agora, daqui de cima, desta afirmativa aqui, podemos subtrair o ângulo DBC dos dois lados e teremos o ângulo CBE que é igual a 180º, menos o ângulo DBC. Tirei isso dessa equação, coloquei o ângulo da DBC no lado direito dela, eu o subtrai dos dois lados da equação e, isso aqui, se eu fizer exatamente a mesma coisa, se subtrair um ângulo DBC dos dois lados da equação, terei que o ângulo DBA é igual a 180º, vamos mover para a esquerda um pouquinho, 180º menos o ângulo DBC. Claramente, temos que o ângulo CBE é igual a 180º menos o ângulo DBC e o ângulo de DBA é igual a 180º menos o ângulo da DBC. Então, eles são iguais entre si, são iguais à mesma coisa, logo, temos que, era onde queríamos chegar, que o ângulo CBE é igual ao ângulo DBA. O ângulo CBE, que é este ângulo bem aqui, é igual ao ângulo DBA. Às vezes, você vai ver isso representado assim, então o ângulo CBE e a sua medida e você diz que sua medida, e essa medida que têm exatamente o mesmo valor. Temos outros ângulos Opostos Pelo Vértice, independente da medida que tem e, às vezes, vai ver essa linha dupla aqui, você pode dizer que a sua medida é igual a este ângulo aqui, independente de quanto for. Às vezes, vai ver escrito assim, gosto de usar cores mas nem todos os livros têm o luxo de usar cores ou, às vezes, poderá ver essa marcação assim para mostrar que eles têm a mesma medida. Esse ângulo é igual a esse ângulo, essa marca mostra que eles são congruentes. Esse ângulo é igual a esse ângulo Oposto Pelo Vértice. Esse outro ângulo Oposto Pelo Vértice aqui e esse ângulo é igual a esse ângulo Oposto Pelo Vértice aqui. O que demonstramos foi: para o caso geral, porque tudo o que fiz foi pegar duas retas quaisquer se cruzando, escolhi um ângulo qualquer e demonstrei que ele é igual ao seu ângulo Oposto Pelo Vértice.