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Transcrição de vídeo

RKA - Tenho um triângulo equilátero no qual o comprimento de cada lado é 14. Esse é meu triângulo, todos os lados medem 14 e dentro dele tem outro triângulo equilátero no qual o comprimento de cada lado é 4. O que eu quero saber é a área da região, vou colorir com outra cor, da região que estou preenchendo agora, a área dentro do triângulo equilátero maior, mas fora do triângulo equilátero menor. Vamos pensar na solução. Pause o vídeo e tente fazer sozinho. A área preenchida vai ser igual à área do triângulo equilátero maior. Área do triângulo equilátero maior menos a área do triângulo equilátero menor, menos a área do triângulo equilátero menor. A gente tem que calcular a área dos dois triângulos equiláteros. Você lembra que a área de um triângulo é igual à metade do comprimento da base vezes a medida da altura. Mas como calculamos a altura de um triângulo equilátero? Por exemplo, se eu tenho um triângulo equilátero assim, vou fazer grande para poder desenhar nele. Esse é meu triângulo equilátero e o comprimento de cada lado é "S", sempre preciso relembrar porque vivo esquecendo a fórmula. Os ângulos são: 60 graus, 60º e 60º, são todos iguais. Para achar a área do triângulo, tenho que descobrir sua altura e, para isso, eu traço uma reta assim e ela divide o triângulo em dois. Não está perfeito porque não desenhei na escala, mas o dividiria em dois formando esses ângulos retos. O legal é que agora dividi meu triângulo equilátero em dois triângulos com ângulos de 30, 60, e 90 graus. Isso é útil porque essa é a razão dos lados de um triângulo 30, 60, 90. Se isto é "S" e eu o dividi em dois nesse segmento laranja, vai ser S sobre 2. Esse aqui também vai ser S sobre 2. Somados, eles dão "S" e sabemos que nos triângulos retângulos, o lado oposto ao lado de 60º é a raiz quadrada de 3 vezes o lado mais curto. Essa reta aqui vai ser a raiz quadrada de 3S sobre 2. Agora dá para descobrir a fórmula geral da área do triângulo equilátero, vai ser igual a meio vezes a base. A base vai ser "S" e a altura é raiz quadrada de 3S sobre 2. Raiz quadrada de 3S sobre 2. E dá para simplificar para... No numerador, temos a raiz quadrada de 3S² sobre 4. Agora aplicamos isso para descobrir as áreas de cada triângulo. Isto vai ser igual à área do triângulo maior, a raiz quadrada de 3 sobre 4 vezes 14². E a área do triângulo menor vai ser a raiz quadrada de 3 sobre 4 vezes 4². Dá para fatorar essa expressão em função da raiz quadrada de 3 sobre 4. Vai ser igual a raiz quadrada de 3 sobre 4 vezes 14² menos 4², que, é claro, dá 16. Mas agora, vamos avaliar, vamos pôr um número aqui. Posso tentar simplificar à mão, mas eu vou usar a minha... vamos simplificar à mão primeiro. Caso não tenha decorado a tabuada de 14, vamos calcular. 14 vezes 14, 4 vezes 14, 4 vezes 4 dá 16, sobe 1. 4 vezes 1 dá 4, mais 1 = 56. A gente coloca um zero aqui porque estamos multiplicando por 10 agora. 10 vezes 14 dá 140. Dá 196. É igual a raiz quadrada de 3 sobre 4 vezes 196 menos 16, que é igual a 180. 180 é divisível por 4, então isso vai ser igual a raiz quadrada de 3 vezes, vejamos, 180 dividido por 4 vai dar 45. Vai ser 45 raiz quadrada de 3. Calculei certo? 180 dividido por 4 dá 45, dá 160 + 20, dá exatamente 180, 45 raiz quadrada de 3. E se eu quisesse uma resposta aproximada em decimal? Vou pegar a calculadora. 45 vezes a raiz quadrada de 3 daria 77. Se eu quisesse arredondar à casa mais próxima, daria 77,94. E isto é igual a aproximadamente 77,94 unidades quadradas. A área da região sombreada.