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Biblioteca de Geometria
Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 7
Lição 8: Área e circunferência de círculos- Raio, diâmetro, circunferência e π
- Nomeando as partes de um círculo
- Raio e diâmetro
- Raio, diâmetro e circunferência
- Revisão de circunferência
- Raio e diâmetro a partir da circunferência
- Circunferência de um círculo
- Área de um círculo
- Área de um círculo
- Revisão da área de círculos
- Área de setores circulares
- Intuição sobre a área de um círculo
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Intuição sobre a área de um círculo
Como usar triângulos para criar um argumento informal para área em uma fórmula de círculo.
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- O que é Apótema?(2 votos)
- https://pt.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%B3tema A definição geral é simples: (para figuras planas regulares) o segmento de reta que vai do centro da figura a um lado, sendo perpendicular a esse lado.
Antes de se preocupar com a fórmula geral do apótema, estude caso a caso, ou só os mais básicos. Bons estudos!(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2MB - Neste vídeo, vamos deduzir
intuitivamente a área da circunferência, sabendo que o perímetro
da circunferência vale "2πr". Vamos iniciar nosso argumento
com a área de um triângulo. A área desse triângulo (vamos chamar de A₁) é
igual ao apótema "a" vezes a base "b" sobre 2. Se quisermos saber a área do polígono
inscrito dentro dessa circunferência, basta somarmos todas essas áreas. Ou seja, se somarmos essa área, mais essa, mais essa, mais essa, mais essa (uma, duas, três, quatro, cinco), nós vamos ter que a área do polígono
inscrito vai ser a área (vamos colocar 5) de 5 vezes "a" vezes "b" (eu posso colocar
como "b" vezes "a", é a mesma coisa) sobre 2. À medida que eu aumento o número de lados do
meu polígono, eu vejo que o perímetro do meu polígono inscrito dentro da circunferência se
aproxima do perímetro da própria circunferência. Ou seja, se eu calculo a área de todos esses
triângulos internos, dentro da circunferência, eu estou me aproximando da
área total da própria circunferência. Para o segundo caso, nós temos
a área (vamos chamar de Área 2)... temos a Área 2 igual ao apótema, que já não
é o mesmo...esse apótema está crescendo, pois, à medida que eu aumento o número de lados,
essa distância entre "b" e o centro diminui; obviamente, o apótema está tendendo cada vez mais ao próprio "r" (o apótema está tendendo ao próprio "r")... então, temos o apótema
vezes a base "b" sobre 2. Então, para a área total, temos... um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete... temos 7 triângulos. Portanto, a área dos sete triângulos vai ser o número de triângulos, 7, vezes o apótema vezes a base sobre 2. Vamos preencher essa área
para ficar bem caracterizado. Nós temos a área se aproximando
da área da própria circunferência. Vamos ver para esse terceiro caso. Nós temos um, dois, três, quatro,
cinco, seis, sete, oito, nove, dez. Portanto, essa área
(vamos chamar Área 3)... essa Área 3 é igual ao apótema
(que está se aproximando do raio)... o apótema vezes a base (que está
se aproximando de zero) sobre 2. Ou seja, quando o número de lados tende a infinito,
"n" vezes "b" vai tendendo a 2πr. "n" vezes "b" é o perímetro
do meu polígono inscrito. Quando "b" tende a zero, ou seja, o número de
polígonos inscritos tende a infinito e "b" tende a zero, "n" vezes "b" tende ao perímetro
da própria circunferência, uma vez que "n" vezes "b" é o
perímetro do polígono inscrito. Então, podemos escrever a área para 10
triângulos formando o polígono inscrito como 10 vezes "b" sobre 2
vezes o apótema "a". E, colocando dessa forma, nós
temos que a área fica sendo essa: um, dois, três, quatro, cinco,
seis, sete, oito, nove, dez. Então, intuitivamente, provamos que a área,
cada vez mais, se aproxima da circunferência. Mas o que acontece quando a área fica tão
próxima quanto eu queira da circunferência? Nossa equação principal é Aₙ (ou seja,
quando "n" for o número de lados)... aqui era 7, aqui é 7; aqui era 5, aqui é 5;
aqui é 10, aqui é 10... para "n", eu tenho "n" vezes
"b" sobre 2 vezes o apótema. O apótema, nós estamos
vendo que ele tende a "r". À medida que eu aumento o número
de lados, o apótema tende a "r". À medida que eu aumento o número
de lados, esse comprimento tende a "r", ou seja, quando "n" tender a infinito,
duas coisas vão acontecer: primeiro, o apótema
vai tender a ser igual a "r", e "n" vezes "b" vai tender a ser o
perímetro da circunferência, ou seja, 2πr. Portanto, o nosso Aₙ, quando "n" tende a
infinito, vai ser "nb" (que é 2πr) sobre 2 vezes o apótema, que tende a "r". Então, temos que a área da nossa circunferência,
ou seja, a área quando o número de polígonos inscritos na circunferência tende a infinito
e assume a forma da própria circunferência, será π vezes "r" vezes "r" (r²). Com isso, chegamos à famosa expressão que é a área da circunferência é πr², como queremos demonstrar.