Desafio: perímetro e área

RKA - Vamos fazer alguns problemas de exemplo aqui. Então, temos que o perímetro de cada um dos triângulos externos é 30. Por exemplo, se eu pegasse a soma desse lado, desse lado e daquele lado, teria 30, e isso é verdade para todos esses triângulos externos, esses 5 triângulos externos. Depois, nos dizem que o perímetro de F, G, H, I, J, então, F, G, H, I, J, o perímetro desse pentágono é 50. Se somar aquele lado mais esse lado, mais esse lado, mais esse lado, mais esse lado, eu tenho 50. E depois eles perguntam: qual é o perímetro da estrela? O perímetro da estrela é, na verdade, o externo, se tirar a base de cada um desses ângulos. É esse lado, deixa eu fazer isso em uma nova cor, vou fazer o perímetro do triângulo em laranja, vai ser esse, mais aquele, mais esse, mais aquele, mais esse, mais aquele. Acho que pegaram a ideia. Mais esse, mais esse, mais esse, mais esse. O perímetro da estrela, então, deixe-me chamar assim, perímetro, perímetro da estrela, será igual ao perímetro desses 5 triângulos, é igual ao perímetro desses 5 triângulos externos. Vou chamá-los de 5 triângulos. Assim, menos as suas bases. Se pegar o perímetro de todos desses lados, se eu somasse essa parte, isso não deveria fazer parte do perímetro da estrela, seria essa parte, aquela parte, aquela parte, aquela parte, aquela parte e aquela parte, aquelas não são a parte, aquelas não são a parte do perímetro da estrela. Deveria ser o perímetro dos 5 triângulos menos as conexões das suas bases. Conexões das suas 5 bases. Qual é o perímetro dos 5 triângulos? Bom, o perímetro de cada um deles é 30. O perímetro de 5 deles será 5 vezes 30, que é 150. Agora, queremos subtrair as 5 bases. As 5 bases ligadas, se nós somarmos, são o perímetro exato desse pentágono interno, bem aqui. Esse pentágono interno tem o perímetro de 50, que é a soma das 5 bases. Bem aqui é 50. Então, o perímetro da estrela será 150 menos 50, ou 100. Tudo o que precisamos é pegar o perímetro de todos os triângulos sem essas bases, que eram o perímetro do pentágono interno, e pronto! Agora, vamos para o próximo problema. Qual é a área desse quadrilátero? Algo que tem 4 lados, de A, B, C, D. E isso é um pouco, ainda não vimos uma figura como essa do lado direito, ela parece um retângulo, e na esquerda, parece um triângulo. Na verdade, é um trapezoide. Mas, como podem imaginar, a forma como descobrimos a área de vários triângulos é dividi-los em pedaços que podemos identificar. E o mais óbvio é começar pelo "A" e traçar a altura, uma reta bem aqui. Então, essa reta vai formar 90 graus e podemos chamar isso de ponto "E". E o que é interessante é que podemos dividir em uma coisa que conhecemos, um retângulo e um triângulo retângulo. Mas você pode dizer: "Como é que a gente descobre as áreas dessas figuras?" Temos esse lado e aquele lado. Então, a gente pode descobrir a área desse retângulo sem dificuldade. Mas como descobrimos a área desse triângulo? Bom, se esse lado é 6, isso significa que EC também será 6. Se AB é 6, perceba que temos um retângulo logo sobre ela e lados opostos de retângulos são iguais. Então, se AB é igual a 6, significa que EC é igual a 6. EC é igual a 6. Então, EC é igual a 6. E se EC é igual a 6, isso nos diz que DE será 3. DE será 3. Essa distância aqui será 3. E sabemos disso porque se isso é 6, isso tem que ser algo ao que somamos 6 para ter 9. 9 era o comprimento dessa base inteira, dessa figura aqui, 9 era essa distância inteira. Então, 9 menos 6 nos dá 3. E agora temos toda a informação de que precisamos para descobrir essa área. A área dessa parte do retângulo será 6 vezes 7. Então, será igual a 42, mais a área desse triângulo. Mais a área desse triângulo. E isso é a base vezes a altura, dividido por 2. A base é 3 e a altura é, mais uma vez, 7. Isso é um retângulo, lados opostos são iguais. Então, se isso é 7, isso também será 7. 3 vezes 7 dividido por 2, então, será 42 mais, vamos ver, 3 vezes 7 são 21, 21 dividido por 2 são 10,5. Então, isso será igual a 42 mais 10,5, que é igual a 52,5. 52,5 é a área dessa figura inteira. Vamos mais um. Aqui tem uma forma bizarra de aparência estranha, e precisamos descobrir seu perímetro. E à primeira vista, parece muito difícil porque eles deram apenas esse lado e esse lado, e eles nos deram apenas esse lado aqui. E uma coisa que podemos supor, e você não tem que fazer isso sempre, não pode fazer sempre essa suposição, eu só não desenhei aqui porque isso iria superlotar esse diagrama, é que todos os ângulos desse diagrama são ângulos retos. Então, eu poderia ter desenhado um ângulo reto aqui, um ângulo reto, um ângulo reto, um ângulo reto aqui, mas, como pode ver, isso meio que deixa as coisas confusas. Mas como descobrimos o perímetro se não sabemos essas pequenas distâncias? Se não sabemos essas pequenas distâncias aqui? E o segredo é meio que transportar os lados, porque tudo com o que devemos nos importar é a soma dos lados. O que vou fazer é um pequeno exercício de transportar os lados. Esse lado aqui, vou transportar e colocar bem aqui, e esse lado, esse comprimento bem aqui, vou transportar e colocar bem aqui. Depois, vou continuar a usar cores diferentes, e depois esse lado vou transportar e colocar em cima. Finalmente, eu vou ter esse lado. Posso virá-lo e colocá-lo bem aqui. E acho que vocês veem o que está acontecendo agora. Todos esses lados combinados serão o mesmo que esse lado. Meio que um prédio. Mesmo, vocês sabem que essa coisa não era um retângulo, mas seu perímetro será interessante. Tudo o que temos que pensar é neste 2. Vamos pensar sobre todos esses lados que estão subindo e descendo. Então, esse lado posso transportar todo para a direita e trazer aqui. Deixe-me deixar bem claro. Tudo dentro, vai todo o trajeto até o fim. É tudo exatamente o mesmo do lado de dentro. Agora, esse lado branco, posso transportar todo o trajeto até aqui. E esse lado verde, posso levar bem aqui, e depois eu tenho, posso transformar, posso transportar isso aqui. Na verdade, eu não vou transportar esse lado verde ainda. Vou só eu pegar esse lado verde, então, ainda não fiz nada, deixa eu ser claro porque ainda não fiz nada com isso, não os transportei. E deixa eu pegar esse lado e transportá-lo. Vou pegar toda essa coisa e transportá-lá para lá. Então, antes de contar essas 2 partes, sabemos que cada uma delas tem comprimento 2, esse ângulo de 90°. Então, esse tem conexão e esse também. Antes de contar essas 2 peças, mudei tudo para que formasse um retângulo. Contando todo o resto, tenho 7 mais 6. Então, vamos ver, 7 mais 6, todos esses combinados também serão 7, mais 7, e todos esses combinados também serão 6, mais 6. E depois, finalmente, tenho este 2, bem aqui, que não tinha contado antes. Esse 2, mais esse 2, mais esses 2. E depois, temos nosso perímetro. Então, o que está dando? 7 mais 6 são 13, mais 7 são 20, mais 6 são 26, mais 4 são 30. É isso aí, acabamos!