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Transcrição de vídeo

meu objetivo neste vídeo é ver se tem um pouco de barbante ou uma reta um segmento de reta como esse de comprimento b será que consigo um segmento de medida a tal que arrasam a sobre b seja equivalente a razão da soma de a com b sobre o comprimento o lado mais longo no caso a vai ser igual a razão a + b para então vamos pensar quero ver se consigo construir um ataque esteja nesta razão nessa proporção perfeita da qual estou falando para que a razão do maior lado sobre o menor seja igual a razão do total sobre o maior vamos assumir que seja possível achar essa razão vamos chamar da letra grega efe vamos usar a letra grega fi para representar esta razão e ver o que a gente consegue descobrir essa razão especial cif é igual a sobre b que é igual a mais b sobre a gente sabe que a + b sobre a igual a a sobre a + b sobre a a sobre é um bebê sobre é o inverso dessa afirmação aqui mês sobre a isso f&b sobre a 1 sobre fee isto é um sobre fee agora as coisas ficam interessantes estabelecemos um número que chamamos dessa razão especial fi é igual a um mais um sobre fee e essa é uma afirmação bem interessante primeiro se subtrair um dos dois lados chega enfim - um igual ao seu inverso essa parece ser uma propriedade bem divertida de qualquer número se subtrai um deles chegou no seu inverso multiplicativo e isso por si só já é intrigante mas essa afirmação também é interessante porque definimos fi como sendo um mais um sobre fee dá pra pensar nele dessa forma a gente pode dizer que fi é igual a um mais um sobre fee em vez de escrever fim estamos dizendo 'bom fi é só um sobre um mais ao invés de dizer fim eu poderia falar isso é simplesmente um mais um sobre dá pra escrever fim de novo ou só continuar poderia continuar para sempre eu poderia dizer que um sobre um sobre e continuar escrevendo assim pra sempre a gente chama isso de definição recursiva de uma função ou definição recursiva de uma variável onde ela é definida em função de si mesma e já é interessante por si só mas queremos ir um pouco mais fundo a gente quer entender exatamente o que f qual é o valor de fife esse número estranha razão esquisita que estamos apenas começando a explorar vamos ver se conseguimos transformar numa equação de segundo grau que possa resolver usando métodos convencionais o jeito mais fácil é multiplicar os dois lados da equação por fim o que da fiel quadrado vou escrever diferente fi ao quadrado é igual a fi mas um fiel quadrado é igual afi mais um e vou discutir uma coisa diferente isso também vai ser interessante pois se a gente pegar a raiz quadrada dos dois lados disso você chega vou descer um pouco chega enfim é igual a raiz quadrada de vôos só mudar a ordem a raiz quadrada de um mais fi e de novo chegamos a uma definição recursiva fi é igual a raiz quadrada de ram mais fi dá pra escrever ali opa fi é igual a raiz quadrada de um mais a raiz quadrada de um mais e podia completar confirmas como fiel igual a raiz quadrada de um mais a raiz quadrada de um mais podemos continuar para sempre com isso é engraçado é legal o mesmo número que pode ser expresso dessa forma o mesmo número que se ao subtrair um chegaria em seu inverso ele também pode ser expresso com essas raízes quadradas recursiva embaixo uma da outra é agora que as coisas começam a ficar realmente intrigante e vamos continuar vamos resolver esse número mágico essa razão mágica da qual estamos falando na verdade é uma idéia muito simples de que a razão do maior para o menor lado é igual a raiz da soma dos dois lados sobre o lado maior então vamos resolver como uma equação de segundo grau tradicional vamos isolar tudo do lado esquerdo vamos subtrair f1 mais um dos dois lados e vamos chegar em fi ao quadrado - um igual a zero dá pra resolver pra fio usando a fórmula de basca que provamos em outros vídeos dá pra aprovar completando o quadrado mas se for pela fórmula de bàscara devemos reconhecer os coeficientes a b e c a é igual a um esse é o coeficiente dessa expressão b é igual ao menos um é o coeficiente dessa expressão se é igual ao menos um este é o coeficiente é na verdade é aquela expressão ali então as soluções para isso fi e só queremos a solução positiva porque estamos falando de algo positivo quando voltamos para o nosso problema inicial vamos assumir que essas distâncias são as duas positivas então ligamos para a solução positiva chegaremos em fi é igual a em laranja - b bom - menos um é um mais ou menos a raiz quadrada de beau quadrado de ao quadrado é igual a 1 - 4 a ser a 1 c é menos um menos quatro vezes menos um é igual a 4 positivo mais quatro sobre 2a a a1 e então tudo isso sobre dois fi é igual a 1 e de novo só queremos a solução positiva isso vai ser raiz quadrada de 5 se tem 1 - a raiz quadrada de 5 vamos chegar num número negativo nesse número a dor mas queremos só solução positiva um mais raiz quadrada de 5 sobre dois esse parece ser um número bem interessante vamos pegar a calculadora e ver se conseguimos chegar nesse número mágico fi com algumas casas decimais vou pegar a calculadora vamos ver onde chegamos e você já deve saber que a raiz quadrada de 5 é um número irracional o número todo vai ser irracional vou provar tudo em outro vídeo que ele não tem repetições ele continua pra sempre mas vamos ver onde conseguimos chegar é um mais a raiz quadrada de 5 / 2 que vai ser 1 vírgula 6180 339 vamos guardar esse número ou escrever aqui e é aqui que as coisas começam a ficar realmente intrigantes e misteriosas tem o número 1,618 03 39 88 e ele continua pra sempre sem nunca terminaram repetir as casas decimais por si só esse número já é legal isso acontece porque essa razão tem um monte de propriedades divertidas que parecem bem loucas e independente de como expressá las mas o mais legal e se a gente voltar naquilo ali quanto vai ser um sobre f1 sobre fee 1 sobre fee que às vezes chamamos de filme maiúsculo a gente sabe que um sobre fee é igual afi - um dá pra fazer de cabeça 1 sobre fee vai ser 0,61 803 3 988 sei lá acho muito estranho que o inverso de um número seja na verdade só as casas decimais depois que subtraiu um se pensar a respeito é muito louco mas é mais louco ainda porque esse número aparece um monte de lugares diferentes e como pode imaginar lendo o título do vídeo e se fique discutimos é a chamada proporção áurea essa razão aparece em toda parte ela aparece e é na arte na música natureza e como exemplo de onde ela aparece na natureza ela aparece em idéias muito puras seu desenho uma estrela perfeita se desenhar uma estrela normal assim vou desenhar assim bem aqui essa é uma estrela normal todos os comprimentos são iguais ou melhor eu desenhar com mais cuidado né se desenhar uma estrela assim que às vezes é chamada de pentagrama vamos ver algumas coisas incríveis rolando nela a razão deste lado rosa pra esta parte azul é igual à proporção áurea a razão do magenta para o rosa é a proporção áurea claro por definição agora uma genta para o laranja também é a proporção áurea ela aparece de um monte de forma se considerar as partes de um pentagrama agora se olhar um pentágono um pentágono regular onde todos os lados e ângulos são iguais um pentágono um pentágono regular se pegar qualquer uma das diagonais de um pentágono regular então ambém aqui se pegar essa diagonal a razão desse lado verde para eu tô falando de diagonais não as que são bordas a razão das diagonais para qualquer dos lados é de novo a proporção áurea e aparecem um monte de outras coisas e lugares ela pode ser usada de forma bem interessantes digamos que a gente tenha um retângulo onde a razão entre a largura ea altura é a proporção áurea vamos desenhar esta é a altura esta é a largura ea razão isso vai ser a estb a razão a abief aquele 1,61 etc vou descer um pouco isso é igual a fee olha que interessante o que podemos fazer esse é um retângulo bonitão vamos desenhar um quadrado aqui separando para limitar um quadrado de bebê por b esse é um quadrado b por b deixou desenhar um pouco diferente se retângulo não saiu exatamente como eu queria a razão seria mais ou menos assim a razão da largura para o cumprimento ou da largura para a altura é a proporção áurea a sobre b é igual à proporção áurea e vou separar um quadrado de bebê por bem aqui e selado é b também e essa distância aqui vai ser a menos b é um quadrado de b murá - b que na verdade é só quadrado b por b b por b e não sobrou um retângulo de b murá - b não seria legal se essa razão também fosse a proporção áurea então vamos calcular achar a razão de bebê pra a menos b isto vai ser um sobre a razão de a menos b para b eu apenas tomei a recíproca desse aqui e isso vai ser igual a 1 sobre a sobre bem menos um vou escrever um sobre a sobre b - um escreve ali e isso vai ser um sobre fee a razão de a para b como definimos efe - um eo que mais efe - um fim menos um é igual a 1 sobre fee esse número é tão legal é igual a 1 sobre um sobre um sobre fique de novo é igual a fee de novo a razão desse retângulo menor da sua altura para a sua largura é novamente a proporção áurea esse número que não pára de aparecer ea gente pode fazer a mesma coisa de novo dá pra separar isso num quadrado de lado a menos b por a menos b isso nos dá outro retângulo de ouro como é chamado e podemos separar em outro quadrado e outro retângulo de ouro e separar em outro quadrado e outro retângulo de ouro mais um vou desenhar assim vai ficar melhor você parar aqui fazer quadrado esse é um quadrado de a menos b por a menos b e tem outro retângulo de ouro aqui posso colocar outro quadrado aqui e de novo outro retângulo de ouro aparece e outro quadrado e outro retângulo de ouro eu acho que ficou claro que vai acontecer é outro quadrado outro retângulo de ouro e cria um padrão legal que podemos levar pra dentro aliás se eu desenhar um arco aqui acontece uma coisa bem legal se desenhar mas esse arco a gente vai chegar numa figura que você conhece muito bem esse padrão não é muito diferente daquele que achamos em caracol ele aparece em um monte de outras coisas na natureza o que faz sentido pois é assim que células são construídas faz sentido que sejam iguais em escalas diferentes ea razão de uma escala para a outra é possivelmente a mesma que a das razões que as constituem essa aparece em vários dos quadros de leonardo da vinci ele nunca chegou a comentar a respeito mas há um monte de proporções interessantes neles e salvador dalí naquele quadro o sacramento da santa ceia explicita que usou a proporção áurea então a razão da largura para a altura é a proporção áurea daí este é um retângulo de ouro e também tem um monte de proporções então te convido a explorá las a proporção com as partes diferentes da mesa em relação a onde elas estão no quadro a proporção áurea aparece no quadro todo e ele pintou aqueles pentágonos ali sabemos qual é a razão das diagonais do pentágono para os lados do pentágono ele achou que era bem legal tem um monte de outras coisas divertidas alice pegar esses dois caras se curvando e traçar uma reta chega na proporção áurea a razão desta parte para aquela ali de novo a proporção áurea ela aparece no quadro todo esse é um conceito muito muito muito legal recomendo que pesquise mais a respeito porque é bem interessante